Ценообразование в сетях: влияние конкуренции и относительных показателей

Автор: Денис Аветисян

Новое исследование показывает, как агенты, ориентированные на сравнение своих результатов с другими, формируют цены на рынках, структурированных как деревья.

"Покупай на слухах, продавай на новостях". А потом сиди с акциями никому не известной биотех-компании. Здесь мы про скучный, но рабочий фундаментал.

Бесплатный Телеграм канал

Наблюдения за динамикой [latex]\mathbb{E}[S(t)] [/latex] при различных значениях параметра θ - 0.4, 0.7, 1.0, 1.3 и 1.6 - демонстрируют эволюцию системы, определяемую параметрами, указанными в таблице 2, и раскрывают чувствительность модели к изменениям этого ключевого параметра. — Наблюдения за динамикой $\mathbb{E}[S(t)]$ при различных значениях параметра θ — 0.4, 0.7, 1.0, 1.3 и 1.6 — демонстрируют эволюцию системы, определяемую параметрами, указанными в таблице 2, и раскрывают чувствительность модели к изменениям этого ключевого параметра.

Работа доказывает существование и единственность равновесия в рамках модели среднего поля с учетом относительных показателей эффективности и гетерогенных агентов.

Несмотря на широкое признание важности относительной эффективности в финансовых решениях, влияние этих соображений на формирование цен активов изучено недостаточно. В работе «Mean-Field Price Formation on Trees with a Network of Relative Performance Concerns» исследуется равновесие в дискретном времени, где агенты, стремясь к относительной эффективности, формируют цену рискованного актива. Получено доказательство существования и единственности равновесия, удовлетворяющего условию рыночного клиринга, как в однородной, так и в многопопуляционной среде. Каким образом учет сети взаимосвязей между участниками рынка может углубить наше понимание динамики ценообразования и эффективности инвестиционных стратегий?

Иллюзии Рациональности: Ограничения Традиционного Экономического Анализа

Классические экономические модели, стремясь к математической элегантности и упрощению анализа, зачастую оперируют упрощенными представлениями о рыночных участниках и доступности информации. Предположение о “совершенной информации” игнорирует тот факт, что в реальности агенты принимают решения в условиях неопределенности и ограниченных знаний. Более того, допущение о “однородных агентах” не учитывает разнообразие в предпочтениях, рисках и способностях к обработке информации. В результате, эти модели оказываются неспособными адекватно описывать поведение на рынках, где господствуют асимметрия информации, поведенческие искажения и гетерогенность участников, что приводит к неточностям в прогнозах и рекомендациях.

Традиционные экономические модели, опирающиеся на предположения о полной информированности и однородности участников, зачастую демонстрируют неточность прогнозов в реальных рыночных условиях. Недостаток информации и разнообразие поведенческих стратегий агентов приводят к отклонениям от предсказанных равновесных состояний. В ситуациях, когда участники рынка принимают решения на основе неполных данных и реагируют на действия друг друга, классические модели оказываются неспособными адекватно отразить динамику цен и объемов торгов. Это особенно заметно на финансовых рынках, где иррациональное поведение, спекуляции и информационные асимметрии являются обычным явлением, что подчеркивает необходимость разработки более сложных и реалистичных моделей, учитывающих эти факторы.

Понимание ограничений традиционных экономических моделей является фундаментальным для создания более устойчивых и реалистичных финансовых инструментов. Неспособность этих моделей адекватно отражать сложность реальных рынков, где информация фрагментирована, а поведение участников неоднородно, приводит к систематическим ошибкам в прогнозировании и оценке рисков. Разработка новых моделей, учитывающих поведенческие факторы, асимметрию информации и взаимозависимость стратегий агентов, представляется необходимым шагом для повышения точности финансовых прогнозов и улучшения управления рисками. Особое внимание уделяется созданию моделей, способных адаптироваться к меняющимся рыночным условиям и учитывать влияние макроэкономических факторов, что позволит более эффективно оценивать потенциальные убытки и принимать обоснованные инвестиционные решения.

Традиционные экономические модели часто не учитывают взаимозависимость стратегий участников рынка и влияние относительных результатов на их поведение. В реальности, решения одного агента напрямую зависят от ожидаемых действий других, а оценка успеха определяется не абсолютным показателем, а положением относительно конкурентов. Данное ограничение особенно заметно в ситуациях, когда выигрыш одного участника автоматически означает проигрыш другого, что приводит к динамике, непредсказуемой в рамках классических моделей равновесия. Игнорирование этой взаимосвязанности и акцента на относительной результативности может приводить к неверным прогнозам и неадекватным управленческим решениям, особенно в конкурентных средах, где превалируют стратегии, ориентированные на превосходство над другими игроками.

Игры со Средним Полем: Новый Взгляд на Коллективное Поведение

Игры со средним полем (MFG) представляют собой мощный подход к анализу систем, состоящих из большого числа взаимодействующих агентов. Вместо моделирования поведения каждого агента индивидуально, MFG упрощает задачу путем представления всей популяции одним «средним» агентом. Этот средний агент учитывает влияние всех остальных агентов через функцию плотности распределения, что позволяет снизить вычислительную сложность и получить аналитические решения. По сути, MFG позволяет аппроксимировать взаимодействие большого количества агентов, рассматривая влияние этой совокупности как внешнее воздействие на каждого отдельного участника, что делает возможным анализ равновесных состояний и динамики системы в целом.

В рамках теории игр со средним полем (MFG) допускается моделирование систем, состоящих из гетерогенных агентов, характеризующихся индивидуальными функциями убытков и коэффициентами неприятия риска. Каждый агент $i$ определяется функцией убытков $L_i(x_i, a_i, \mu)$ , где $x_i$ — состояние агента, $a_i$ — его действие, а μ — мера, описывающая распределение состояний всех остальных агентов. Коэффициент неприятия риска агента $i$ , обозначаемый как $\gamma_i$ , влияет на его предпочтения и, следовательно, на оптимальную стратегию. Учет этих индивидуальных характеристик позволяет более реалистично моделировать поведение агентов в сложных системах, учитывая различия в их целях и отношении к риску.

В рамках теории игр со средним полем (MFG) стратегическая взаимозависимость агентов является фундаментальной характеристикой модели. Действия каждого агента оказывают влияние на общее состояние рынка, которое, в свою очередь, влияет на оптимальные стратегии других агентов. В отличие от традиционных игровых моделей, где необходимо учитывать стратегии каждого отдельного участника, MFG позволяет агрегировать поведение множества агентов в единое «среднее поле», описывающее распределение стратегий. Изменение стратегии одного агента приводит к небольшому изменению в этом среднем поле, которое затем влияет на выигрыш всех агентов, тем самым формируя обратную связь и определяя равновесное состояние системы. Это взаимодействие учитывается в уравнении Колмогорова-Фоккера-Планка, которое описывает динамику среднего поля и позволяет анализировать влияние индивидуальных решений на коллективное поведение.

В рамках теории игр со средним полем (MFG) ключевым понятием является равновесие в среднем поле (Mean Field Equilibrium — MFE), определяемое как состояние, в котором ни один агент не имеет стимула отклоняться от своей текущей стратегии, учитывая стратегии остальных агентов. В частности, для многопопуляционных моделей доказано существование и единственность равновесия, очищающего рынок (Market-Clearing Mean-Field Equilibrium — MC-MFE). Это означает, что в MC-MFE спрос и предложение по каждому ресурсу сбалансированы, а стратегии агентов в каждой популяции оптимальны относительно стратегий других популяций и общего состояния рынка. MC-MFE обеспечивает устойчивое состояние, предсказуемое в динамических системах с большим количеством взаимодействующих субъектов.

Вычислительные Методы для Анализа Равновесия: Практическая Реализация

В рамках теории среднего поля (MFG) оптимальное поведение каждого агента, выраженное в его оптимальной торговой стратегии, определяется с использованием методов оптимального управления. Каждый агент рассматривается как решающий задачу оптимального управления, где целевая функция представляет собой ожидаемую суммарную прибыль, а ограничения связаны с динамикой активов и ограничениями на торговые операции. Решение этой задачи оптимального управления дает функцию стратегии, определяющую оптимальные действия агента в зависимости от текущего состояния рынка и его собственных убеждений. При этом, поскольку каждый агент учитывает влияние других агентов на рынок, возникает необходимость в итеративном процессе решения, где стратегии агентов уточняются до достижения равновесия, при котором ни один агент не может улучшить свою прибыль, изменив свою стратегию в одиночку.

Итерационный метод неподвижной точки является ключевым численным методом для нахождения равновесия в рамках модели множественного агента (MFG). Он заключается в последовательном уточнении стратегий агентов до достижения сходимости. Этот процесс демонстрируется с использованием методов обратной индукции и разложения резольвенты. Обратная индукция позволяет определить оптимальные стратегии, начиная с конечного момента времени и двигаясь к начальному. Разложение резольвенты, в свою очередь, используется для анализа сходимости и устойчивости итерационного процесса, а также для обеспечения непрерывности решений даже вблизи особенностей, возникающих из-за сингулярностей в матрицах взаимодействия. Процесс итераций продолжается до тех пор, пока разница между последовательными приближениями стратегий не станет пренебрежимо малой, что указывает на достижение равновесия.

Анализ равновесия в рамках модели множества агентов (MFG) требует учета вероятностей перехода, определяющих динамику изменения цен активов и состояния рынка. Эти вероятности перехода, как правило, формируются на основе стохастических процессов, моделирующих эволюцию цен, и зависят от текущего состояния рынка и действий агентов. Для корректного определения равновесия необходимо учитывать как дискретные, так и непрерывные вероятности перехода, а также их влияние на стратегии агентов и ожидаемые выплаты. $P_{t+1}(s'|s,a)$ обозначает вероятность перехода в состояние $s'$ в момент времени $t+1$ , при условии, что в момент времени $t$ система находится в состоянии $s$ и агенты предпринимают действия $a$ . Точное моделирование этих вероятностей является критически важным для обеспечения корректности и надежности анализа равновесия.

Для обеспечения непрерывности решений при анализе равновесия и обработки потенциальных сингулярностей используется метод разложения резольвенты. Этот метод позволяет доказать, что равновесные решения непрерывно зависят от матриц взаимодействия даже в окрестностях сингулярных точек, где эти матрицы имеют полюс первого порядка. Разложение резольвенты позволяет формально представить решение в виде бесконечного ряда, что обеспечивает сходимость и позволяет корректно анализировать поведение системы вблизи сингулярностей, избегая проблем, связанных с неопределенностью или разрывами в решениях. Таким образом, данный подход гарантирует устойчивость и предсказуемость равновесных стратегий даже при изменении параметров, определяющих взаимодействие агентов в системе.

Расширение Модели: За Пределы Однородных Популяций

Начальный анализ финансовых рынков часто упрощается рассмотрением однородной популяции агентов, что позволяет получить базовые результаты и облегчает математическое моделирование. Однако, реальные рынки характеризуются значительным разнообразием участников, каждый из которых обладает уникальными характеристиками, мотивациями и стратегиями. Данное упрощение, хотя и полезно для первоначального понимания, не отражает всей сложности взаимодействия между различными группами инвесторов, трейдеров и других участников. Игнорирование гетерогенности популяции может приводить к неточным прогнозам и неполному пониманию динамики рынка, поскольку поведение отдельных групп может существенно влиять на общие тенденции и формирование цен. Таким образом, переход к моделированию с учетом разнообразия участников является важным шагом для повышения реалистичности и точности анализа финансовых рынков.

Модель массового игрока (MFG) легко адаптируется для анализа многопопуляционных систем, позволяя учитывать разнообразие характеристик и мотиваций участников рынка. В отличие от традиционных подходов, фокусирующихся на однородной массе агентов, данная методология позволяет моделировать взаимодействие между группами с различными предпочтениями, стратегиями и реакциями на изменения рыночной конъюнктуры. Это расширение принципиально важно для создания более реалистичных моделей, способных адекватно отражать сложность финансовых рынков, где поведение различных групп инвесторов — от институциональных трейдеров до розничных инвесторов — существенно различается и оказывает влияние на общую динамику. Благодаря этому, анализ становится более детализированным и позволяет выявлять закономерности, которые остаются незамеченными в упрощенных однопопуляционных моделях.

Расширение модели MFG на многопопуляционную среду позволяет получить более глубокое понимание рыночной динамики, учитывая взаимодействие между различными группами агентов. Вместо упрощенного анализа, сосредоточенного на однородной массе участников, данная методика исследует, как поведение и стратегии различных групп — например, инвесторов с разным уровнем риска или трейдеров, использующих различные алгоритмы — влияют друг на друга. Это взаимодействие формирует более реалистичную картину рынка, где равновесие определяется не только общими факторами, но и специфическими характеристиками каждой группы агентов. Анализ таких взаимосвязей позволяет выявить сложные паттерны и предсказать рыночные изменения с большей точностью, особенно в ситуациях, когда поведение одной группы существенно влияет на возможности и решения других.

Включение указанных сложностей в модель позволяет получать более точные прогнозы и всестороннее представление о динамике финансовых рынков. Доказано существование равновесия как в однородной, так и в многородной среде, при условии выполнения определенных требований к обратимости матрицы взаимодействия $(I-Θ)$ . Это означает, что даже при наличии различных групп агентов с отличающимися характеристиками и мотивациями, можно определить стабильные состояния рынка, при соблюдении заданных математических условий. Такой подход существенно расширяет возможности моделирования, позволяя учитывать нюансы взаимодействия между агентами и, как следствие, получать более реалистичные и надежные результаты, чем при использовании упрощенных моделей, ориентированных на однородные популяции.

«`html

Исследование равновесия на рынках, представленное в данной работе, неизбежно сталкивается с проблемой рациональности агентов. Все говорят о рациональном поведении инвесторов, пока не наблюдают массовых распродаж или необъяснимые скачки цен. Авторская модель, учитывающая взаимосвязь между агентами и их стремление к относительному успеху, лишь подтверждает эту закономерность. Как точно подметила Мэри Уолстонкрафт: «Женщины должны быть рациональными существами, иначе их не будет рассматривать как существ». Данное утверждение можно перенести и на финансовые рынки: любое “поведение инвестора” — это просто эмоциональная реакция с хорошим обоснованием, а стремление к относительному успеху лишь усиливает эффект стадного чувства и иррациональности. Модель равновесия, представленная в работе, позволяет лучше понять динамику рынка, но не избавляет от необходимости учитывать иррациональные факторы.

Что дальше?

Представленная работа, тщательно выстраивая существование и уникальность равновесия в сложной игре средних полей, неизбежно наталкивается на вопрос: а действительно ли люди стремятся к оптимальности? Или же они просто ищут удобство, знакомые паттерны, даже если те далеки от рационального максимизирования? Модель демонстрирует зависимость равновесия от параметров, но упускает из виду, что сами эти параметры формируются не логикой, а привычками и страхами. Люди не выбирают оптимум, они выбирают комфорт.

Будущие исследования, вероятно, столкнутся с необходимостью учитывать гетерогенность не только в предпочтениях, но и в способах обработки информации. Текущая модель предполагает некую усредненность агентов, но реальный мир полон когнитивных искажений и эвристик. Попытки включить в модель элементы поведенческой экономики, учитывающие ограниченную рациональность и предвзятости, могут оказаться более плодотворными, чем дальнейшее усложнение математического аппарата.

Возможно, истинный прогресс лежит не в построении более точных моделей, а в признании того, что экономика — это не наука о рациональных агентах, а скорее описание иррациональных надежд, превращенных в графики. Мы не ищем выгоду — мы ищем уверенность. И эта уверенность, как правило, имеет мало общего с математической оптимальностью.

Оригинал статьи: https://arxiv.org/pdf/2512.21621.pdf

Связаться с автором: https://www.linkedin.com/in/avetisyan/

Смотрите также:

2025-12-29 12:44