Оптимизация торговли: максимизация выгоды при любых условиях

Автор: Денис Аветисян

В новой работе исследуются стратегии оптимальной торговли, позволяющие максимизировать доходность при работе с производными финансовыми инструментами и ограничениях на капитал.

"Покупай на слухах, продавай на новостях". А потом сиди с акциями никому не известной биотех-компании. Здесь мы про скучный, но рабочий фундаментал.

Бесплатный Телеграм канал

При заданных параметрах, аналогичных представленным на рисунке 3, оптимальное значение полезности достигается при [latex]\lambda \approx 3.1[/latex], что указывает на существование конкретного порога для максимизации рассматриваемой функции. — При заданных параметрах, аналогичных представленным на рисунке 3, оптимальное значение полезности достигается при $\lambda \approx 3.1$ , что указывает на существование конкретного порога для максимизации рассматриваемой функции.

Исследование посвящено оптимизации полезности при наличии ограничений, независимых от конкретной модели ценообразования, и разработке надежных стратегий хеджирования.

Обеспечение максимизации полезности при управлении портфелем часто сталкивается с ограничениями, связанными с неопределенностью оценки деривативов. В работе «Utility Maximisation with Model-independent Constraints» исследуется проблема оптимальной стратегии торговли с учетом ограничений, основанных на модели-независимых оценках, позволяющих агенту хеджировать риски и поддерживать достаточный уровень капитала. Полученные результаты демонстрируют возможность построения оптимального терминального богатства с использованием декомпозиции супермартингалов, а также предоставляют явную формулу для модели Блэка-Шоулза-Мертона. Какие новые возможности открывает применение робастных методов оценки для формирования эффективных инвестиционных стратегий в условиях неполных рынков?

Пределы Традиционного Ценообразования Деривативов

Традиционные модели ценообразования деривативов, такие как модель Блэка-Шоулза, опираются на упрощающие предположения, которые часто не соответствуют реалиям финансовых рынков, что приводит к неверной оценке и увеличению рисков. Предположение о нормальном распределении доходности активов, постоянной волатильности и отсутствии транзакционных издержек — лишь некоторые из этих упрощений. В действительности, рынки демонстрируют «толстые хвосты» в распределении доходности, волатильность подвержена изменениям, а транзакционные издержки могут существенно влиять на стоимость деривативов. В результате, использование этих моделей может приводить к занижению или завышению цен, создавая возможности для арбитража, но, что более важно, подвергая инвесторов потенциальным убыткам и затрудняя эффективное управление рисками. Например, в периоды высокой рыночной турбулентности, когда «толстые хвосты» наиболее заметны, стандартные модели могут значительно недооценивать вероятность экстремальных событий, что приводит к неадекватной оценке опционов и других производных инструментов.

Традиционные модели ценообразования деривативов испытывают значительные трудности при работе с инструментами, стоимость которых зависит от всей траектории движения базового актива, например, опционами с однократным касанием. Это связано с тем, что стандартные аналитические решения предполагают, что цена актива изменяется непрерывно и предсказуемо, что далеко не всегда соответствует действительности. Более того, эти модели часто игнорируют неопределенность, связанную с самой моделью — то есть, риск, что выбранная модель неверно описывает рыночную динамику. В результате возникает потребность в разработке более устойчивых и надежных методов оценки, способных учитывать как сложность траектории актива, так и потенциальные ошибки в используемых моделях, что критически важно для точной оценки рисков и предотвращения значительных финансовых потерь.

Внутренние ограничения традиционных моделей ценообразования деривативов, несмотря на их широкое распространение, могут приводить к существенным финансовым потерям для инвесторов. Неспособность адекватно учитывать реальную рыночную динамику и сложность финансовых инструментов приводит к неверной оценке рисков и, как следствие, к неоптимальным инвестиционным решениям. Погрешности в ценообразовании не только подрывают эффективность хеджирования, но и создают возможности для арбитража, увеличивая волатильность рынка. В конечном итоге, игнорирование этих ограничений препятствует эффективному управлению рисками и требует от инвесторов разработки и внедрения более сложных и точных методов оценки деривативов, а также постоянного мониторинга рыночной ситуации для минимизации потенциальных убытков.

В модели Блэка - Шолса - Мертона функции ρ и φ отражают дополнительную стоимость хеджирования и значение процесса [latex]\phi_{t}[/latex] при [latex]S_{t}^{D}=K^{D}[/latex], соответственно. — В модели Блэка — Шолса — Мертона функции ρ и φ отражают дополнительную стоимость хеджирования и значение процесса $\phi_{t}$ при $S_{t}^{D}=K^{D}$ , соответственно.

Внутренняя Стоимость как Ограничение: Новый Подход

Вместо стремления к определению единственной «справедливой» цены, внутренняя стоимость дериватива определяется как нижняя граница, гарантирующая отсутствие убытков при использовании любой модели ценообразования. Этот подход позволяет избежать рисков, связанных с ошибками в конкретной модели, поскольку внутренняя стоимость служит точкой отсчета, ниже которой цена дериватива не может опуститься. Определение внутренней стоимости как нижней границы обеспечивает защиту инвестора от неблагоприятных сценариев, поскольку любая модель, приводящая к цене ниже этой границы, считается неприемлемой. По сути, внутренняя стоимость выступает в роли предохранителя, ограничивающего потенциальные потери и обеспечивающего минимальный уровень защиты.

В рамках предлагаемого подхода, внутренняя стоимость производного финансового инструмента выступает как ограничение для торговых стратегий, формируя область отсутствия арбитражных возможностей в пространстве моделей. Данное ограничение формально выражается условием $W_T \pi,C \geq -D_T^{-1}\alpha$ , где $W_T$ представляет собой вес стратегии в момент времени T, π — стратегия, $C$ — стоимость производного инструмента, $D_T$ — дисконтирующий фактор, а α — параметр, определяющий допустимый уровень риска. Соблюдение данного неравенства гарантирует, что любая торговая стратегия не приведет к убыткам, даже в неблагоприятных модельных сценариях, и обеспечивает согласованность оценок стоимости.

Использование данного ограничения позволяет преодолеть зависимость от конкретных моделей ценообразования и гарантирует минимальный уровень защиты для инвестора. Оценка производится посредством càdlàg ℚ-ℱ-субмартингала, определяемого как $DTℑt(CT)$ , где $DT$ представляет собой дискретную меру времени, $ℑt$ — процесс фильтрации, а $CT$ — стоимость актива. Данный подход обеспечивает справедливую оценку, поскольку гарантирует, что ожидаемая доходность не будет отрицательной при любом возможном развитии событий, определяемом фильтром ℚ-ℱ. В результате, стратегия не подвержена риску убытков, связанных с неточностями какой-либо отдельной модели.

Зависимость оптимального уровня потребления [latex]r^{\*}(M(\lambda),\lambda)[/latex] от параметра λ показывает, что при малых значениях λ ограничение на промежуточное богатство не достигается, и оптимальное потребление равно нулю. — Зависимость оптимального уровня потребления $r^{\*}(M(\lambda),\lambda)$ от параметра λ показывает, что при малых значениях λ ограничение на промежуточное богатство не достигается, и оптимальное потребление равно нулю.

Допустимые Стратегии и Суперрепликация

Допустимая стратегия в контексте финансового моделирования подразумевает поддержание стоимости портфеля постоянно выше внутренней стоимости базового актива или производного инструмента. Это требование обеспечивает отсутствие убытков даже в наихудших сценариях развития рынка. Математически, это выражается как $P(t) \ge V(t)$ , где $P(t)$ — стоимость портфеля в момент времени $t$ , а $V(t)$ — внутренняя стоимость в тот же момент времени. Гарантия отсутствия убытков критически важна для защиты от рисков и обеспечения надежности финансовых операций.

Суперрепликация представляет собой метод построения допустимых стратегий, обеспечивающий выплату не ниже, чем у производного финансового инструмента, вне зависимости от траектории базового актива. В основе метода лежит создание портфеля, способного воспроизвести или превзойти выплаты по деривативу во всех возможных сценариях развития рынка. Технически, суперрепликация предполагает определение минимального набора активов и их количества, необходимых для гарантированного достижения целевой выплаты. В отличие от дельта-хеджирования, суперрепликация не требует непрерывной корректировки портфеля и обеспечивает защиту от убытков даже в экстремальных рыночных условиях, хотя и может потребовать значительного начального капитала. $V(t) \ge P(T)$ , где $V(t)$ — стоимость суперреплицирующего портфеля в момент времени $t$ , а $P(T)$ — выплата по деривативу в момент времени $T$ .

Статические и динамические стратегии хеджирования могут быть формализованы как допустимые решения в задачах управления рисками и обеспечения минимальной доходности. Статическая стратегия подразумевает однократную покупку или продажу активов для создания защитной позиции, в то время как динамическая стратегия предполагает корректировку портфеля во времени в ответ на изменения рыночной конъюнктуры. Обе стратегии направлены на поддержание стоимости портфеля выше стоимости базового актива или производного финансового инструмента, что обеспечивает защиту от убытков и гарантирует выполнение обязательств по контракту. Реализация этих стратегий требует анализа рыночных данных, оценки рисков и использования математических моделей для оптимизации портфеля и минимизации затрат.

График демонстрирует эквивалентную определённость стратегии трейдера при использовании полустатического хеджа в зависимости от страйка [latex]K[/latex] ванильного колл-опциона, при этом выделен выбор полустатического хеджа, соответствующий суперхеджу минимальной стоимости (оптимальному по Гобсону [latex]K[/latex]), при начальном капитале [latex]w_0 = 0.1[/latex]. — График демонстрирует эквивалентную определённость стратегии трейдера при использовании полустатического хеджа в зависимости от страйка $K$ ванильного колл-опциона, при этом выделен выбор полустатического хеджа, соответствующий суперхеджу минимальной стоимости (оптимальному по Гобсону $K$ ), при начальном капитале $w_0 = 0.1$ .

Вычисление Ограничения: Огибающие Снелла и Локальное Время

Огибающая Снелла представляет собой мощный математический инструмент для вычисления внутренней стоимости, определяя наибольший субмартингейл, ограничивающий выплату по производному финансовому инструменту. Формально, огибающая Снелла является супремумом всех субмартингейлов, которые меньше или равны выплате инструмента. Этот субмартингейл, являясь верхней границей, обеспечивает оценку максимальной потенциальной прибыли, которую можно гарантированно получить в каждый момент времени. Использование огибающей Снелла позволяет определить точную внутреннюю стоимость опциона или другого дериватива, что критически важно для разработки оптимальных стратегий управления рисками и максимизации прибыли. Вычисление огибающей Снелла требует анализа динамики базового актива и учета всех возможных будущих состояний рынка, что делает его сложной, но необходимой процедурой в количественных финансах. $S(t) = \sup_{T \ge t} E[X_T | \mathcal{F}_t]$ , где $X_T$ — выплата в момент времени T, а $\mathcal{F}_t$ — информация, доступная на момент времени t.

Локальное время, $\mathcal{L}_t(x)$ , представляет собой меру времени, которое цена актива проводит на определенном уровне $x$ в период от 0 до $t$ . Это не просто накопление времени, но интеграл от индикаторной функции, показывающей, когда процесс достигает уровня $x$ . В контексте вычисления границы Снелла, локальное время необходимо для точного определения момента, когда стратегия должна быть скорректирована, поскольку оно позволяет учесть продолжительность пребывания цены на критических уровнях, что влияет на величину допустимого бюджета и, следовательно, на оптимальную стратегию управления рисками. Игнорирование локального времени приводит к неточной оценке границы и может привести к принятию неоптимальных решений.

Комбинирование огибающей Снелла и понятия локального времени позволяет точно определить внутреннее бюджетное ограничение в задачах оптимального управления. Огибающая Снелла, представляющая собой наибольшую сублимартингалу, ограничивающую выплату производного инструмента, в сочетании с локальным временем, отражающим время пребывания актива на определенном уровне, дает возможность вычислить точную границу допустимой стратегии. Это, в свою очередь, обеспечивает возможность построения стратегий, гарантированно удовлетворяющих бюджетным ограничениям и максимизирующих ожидаемую прибыль, что критически важно для эффективного управления рисками и оптимизации инвестиционных портфелей. $I(t) = \sup_{T \geq t} E_t[X_T]$ — типичное выражение для огибающей Снелла, где $X_T$ — выплата в момент времени T.

За пределами Ценообразования: Основа для Надёжного Управления Рисками

Данный подход существенно смещает акцент с точного определения цены актива на создание надёжной системы управления рисками, обеспечивающей гарантированный уровень защиты от неопределенности, возникающей из-за несовершенства используемых моделей. Вместо стремления к идеальной оценке, он направлен на определение нижней границы возможных потерь, что позволяет инвесторам принимать более взвешенные решения и снижать влияние неблагоприятных рыночных условий. Такая стратегия особенно актуальна в условиях высокой волатильности и сложности финансовых инструментов, поскольку позволяет заранее определить допустимый уровень риска и избежать критических ситуаций, связанных с неожиданными колебаниями цен. В конечном итоге, это способствует повышению стабильности и долгосрочной прибыльности инвестиционного портфеля, определяя оптимальное конечное состояние капитала, выражаемое формулой $WTπ = ξT[(sup0\lequ\leqTJuζ)\lorM]$ .

Определение нижней границы потенциальных убытков позволяет инвесторам принимать более обоснованные решения и смягчать последствия неблагоприятной рыночной конъюнктуры. Вместо фокусировки исключительно на точной оценке стоимости активов, данный подход акцентирует внимание на гарантированном уровне защиты от неопределенности модели. Это особенно важно в условиях волатильности и непредсказуемости финансовых рынков, где традиционные методы оценки могут оказаться неадекватными. Четкое понимание минимально возможного ущерба позволяет инвесторам более уверенно управлять рисками, оптимизировать состав портфеля и обеспечивать долгосрочную стабильность, что, в конечном итоге, влияет на конечный капитал, определяемый как $WTπ = ξT[(sup0\lequ\leqTJuζ)\lorM]$ .

Данная методика выходит за рамки простого ценообразования деривативов, представляя собой мощный инструмент управления сложными финансовыми портфелями и обеспечения долгосрочной стабильности. Её применение позволяет не только оценивать риски, но и формировать оптимальную структуру портфеля, направленную на максимизацию итогового капитала. В конечном итоге, конечный капитал, определяемый как $WTπ = ξT[(sup0\lequ\leqTJuζ)\lorM]$ , становится результатом тщательного анализа и управления неопределенностью модели, позволяя инвесторам достигать желаемых финансовых результатов даже в неблагоприятных рыночных условиях. Данный подход обеспечивает не только защиту от потенциальных потерь, но и возможность уверенного планирования долгосрочных инвестиций.

Ожидаемая полезность трейдера, выраженная как разница между эквивалентом определенности с хеджированием и без него, демонстрирует зависимость от начального капитала [latex]w_0[/latex] при различных страйках [latex]K[/latex] для ванильных колл-опционов, используемых в полустатическом хеджировании. — Ожидаемая полезность трейдера, выраженная как разница между эквивалентом определенности с хеджированием и без него, демонстрирует зависимость от начального капитала $w_0$ при различных страйках $K$ для ванильных колл-опционов, используемых в полустатическом хеджировании.

Исследование, представленное в данной работе, фокусируется на максимизации полезности при торговле деривативами с учетом ограничений, не зависящих от конкретной модели ценообразования. Этот подход, безусловно, требует компромиссов — модель всегда является упрощением реальности, а значит, и неким соглашением об удобстве. Как метко заметил Стивен Хокинг: «Интеллект — это способность адаптироваться к изменениям». В контексте данной работы, это означает, что стратегия, оптимальная в одной модели, может оказаться совершенно непригодной в другой. Поэтому, акцент на независимость от модели — это не просто математическая строгость, а признание неизбежной неопределенности, присущей финансовым рынкам. Именно способность адаптироваться к этой неопределенности и является ключом к устойчивой торговле.

Что дальше?

Представленная работа, исследуя максимизацию полезности при наложении ограничений, не предлагает готовых ответов, а лишь обнажает глубину нерешенных вопросов. Попытка обойти зависимость от конкретной модели ценообразования — шаг верный, но требует признания: сама концепция «интринсивной стоимости» таит в себе немало произвола. Легко увлечься построением «робастных» стратегий, забывая, что любая стратегия — лишь приближение к идеалу, а рынок всегда найдет способ её проверить.

Особое внимание следует уделить границам применимости полученных результатов. Ограничения, наложенные на капитал и допустимые стратегии, — необходимые упрощения, но они же и сужают область практической значимости. Будущие исследования должны сосредоточиться на анализе чувствительности к этим ограничениям и разработке методов их смягчения, не жертвуя при этом математической строгостью. И, конечно, необходима более глубокая проработка вопросов динамического хеджирования в условиях неидеальной ликвидности.

Гипотеза о возможности «суперрепликации» — соблазнительна, но требует двойной проверки. Всё, что подтверждает ожидания, нуждается в критическом осмыслении. Попытки построить «идеальную» стратегию — утопичны. Реальная ценность заключается в понимании границ применимости и умении признавать собственные ошибки. Истина не рождается из одной модели, а вырастает из последовательности проверок, ошибок и сомнений.

Оригинал статьи: https://arxiv.org/pdf/2512.24371.pdf

Связаться с автором: https://www.linkedin.com/in/avetisyan/

Смотрите также:

2026-01-01 06:28