Блуждания жизни: Новая модель движения организмов

Автор: Денис Аветисян

Исследователи разработали теоретическую основу для анализа движения живых организмов, позволяющую отделить внутреннюю динамику от внешних факторов.

"Покупай на слухах, продавай на новостях". А потом сиди с акциями никому не известной биотех-компании. Здесь мы про скучный, но рабочий фундаментал.

Бесплатный Телеграм канал

Траектория движения хищной птицы, представленная в декартовой системе координат, позволяет анализировать как абсолютную скорость в каждой точке пути, так и характеристики движения в системе координат, связанной с самой птицей, где конечная точка траектории описывается величиной скорости и углом поворота, отражающим изменение направления движения.

В статье представлена трансформация стохастических процессов между декартовыми и движущимися системами координат, приводящая к самосогласованному орнштейновскому процессу в движущейся системе координат.

Несмотря на широкое использование стохастических моделей для описания движения организмов, эффективный переход между различными системами координат остаётся сложной задачей. В статье ‘Modelling the movements of organisms by stochastic theory in a comoving frame’ предложен теоретический подход, позволяющий трансформировать ланжевеновскую динамику из фиксированной декартовой системы координат в систему, сопутствующую движущемуся объекту. Показано, что орнштейновский процесс, описывающий скорость в декартовой системе, может быть точно преобразован в самосогласованный стохастический процесс в сопутствующей системе координат, обобщая модели коррелированных случайных блужданий. Открывает ли это путь к разработке принципиально новых стохастических моделей, более адекватно описывающих внутреннюю динамику движения организмов и автономных роботов?

Случайность и Неизбежность: Отход от Детерминизма

Изучение кажущихся хаотичными движениями, будь то броуновское движение мельчайших частиц или сложные процессы в биологических системах, требует отказа от традиционных детерминированных моделей. В прошлом ученые стремились предсказывать траектории, исходя из известных начальных условий и сил, однако применительно к системам, где случайность играет ключевую роль, такой подход оказывается неэффективным. Наблюдаемая непредсказуемость не является результатом недостатка информации, а принципиальным свойством самой системы. Попытки описать эти движения с помощью фиксированных уравнений приводят к неточностям и искажениям реальности, поскольку не учитывают влияние случайных флуктуаций и непредсказуемых событий. Вместо этого необходимо применять вероятностные методы и статистические модели, позволяющие описывать не конкретные траектории, а распределение вероятностей различных состояний системы, что открывает путь к более адекватному пониманию и прогнозированию ее поведения.

Традиционные подходы к моделированию движения, основанные на предсказуемых траекториях и детерминированных уравнениях, зачастую оказываются неэффективными при анализе систем, демонстрирующих случайное поведение. Это связано с тем, что многие природные явления, такие как броуновское движение частиц или динамика биологических молекул, характеризуются не только случайностью, но и временными корреляциями — зависимостью текущего состояния системы от её предыдущих состояний. Простое игнорирование этих корреляций приводит к неточным прогнозам и неполному пониманию процессов. Например, попытки описать движение частицы в жидкости, полагаясь лишь на мгновенные случайные воздействия, не позволяют учесть инерцию и другие факторы, влияющие на её траекторию. Поэтому для адекватного моделирования таких систем необходим переход к стохастическим (вероятностным) моделям, способным учитывать как случайность, так и временные зависимости, что открывает возможности для более точного предсказания и анализа их поведения.

Для адекватного описания систем, характеризующихся случайным движением, требуется переход от простых кинематических моделей к надежной математической структуре. Традиционные подходы, фокусирующиеся на определении траектории по известным начальным условиям, оказываются недостаточными, поскольку не учитывают внутреннюю случайность и временные корреляции, присущие этим процессам. Вместо этого необходимо использовать стохастические методы, основанные на вероятностных описаниях и дифференциальных уравнениях, учитывающих случайные силы. Например, $\frac{dx}{dt} = \sqrt{2D} \xi(t)$ , где $D$ — коэффициент диффузии, а $\xi(t)$ — гауссовский случайный процесс, позволяет описывать броуновское движение. Подобные математические инструменты открывают возможность не только качественного понимания, но и количественного прогнозирования поведения систем, подверженных случайным воздействиям, что критически важно для широкого спектра научных и практических задач.

Понимание стохастических процессов, то есть процессов, развивающихся случайным образом, является основополагающим для широкого спектра научных дисциплин. От физики, где броуновское движение частиц служит ярким примером, и биологии, изучающей хаотичные, но упорядоченные движения микроорганизмов, до финансов, где колебания рынка невозможно предсказать с абсолютной точностью, — везде проявляется необходимость учитывать случайность. $P(x,t)$ — вероятность обнаружения частицы в точке x в момент времени t — эта фундаментальная концепция находит применение не только в теоретической физике, но и в моделировании сложных экономических систем. Более того, методы, разработанные для анализа стохастических процессов, все чаще используются в климатологии для прогнозирования изменений погоды и в экологии для изучения динамики популяций, подчеркивая универсальность и важность этого подхода к пониманию окружающего мира.

Сравнение плотности вероятности компоненты скорости [latex]v_x[/latex] для случайного блуждания, сформулированного в различных системах координат, показывает соответствие гауссовскому распределению, при этом функция автокорреляции для всех моделей указывает на отсутствие корреляции между последовательными значениями скорости. — Сравнение плотности вероятности компоненты скорости $v_x$ для случайного блуждания, сформулированного в различных системах координат, показывает соответствие гауссовскому распределению, при этом функция автокорреляции для всех моделей указывает на отсутствие корреляции между последовательными значениями скорости.

Процесс Орнштейна-Уленбека: Модель Случайного Блуждания с Памятью

Процесс Орнштейна — Уленбека (OU) представляет собой мощный математический аппарат для моделирования систем, характеризующихся стремлением к среднему значению при наличии случайных флуктуаций. В отличие от процессов, описывающих чисто случайное блуждание, OU-процесс позволяет учитывать тенденцию системы к возврату к некоторому равновесному состоянию. Это достигается за счет включения в модель силы, пропорциональной отклонению от среднего значения, что делает его применимым для широкого спектра явлений, где наблюдается как случайность, так и инерция. Математически, OU-процесс описывается стохастическим дифференциальным уравнением вида $dX_t = \theta(\mu - X_t)dt + \sigma dW_t$ , где μ — среднее значение, θ — скорость возврата к среднему, σ — интенсивность флуктуаций, а $dW_t$ — винеровский процесс.

В отличие от чисто случайных блужданий, процесс Орнштейна-Уленбека включает в себя “восстанавливающую силу” — термин затухания, который возвращает систему к состоянию равновесия. Математически это выражается добавлением члена, пропорционального текущему отклонению от среднего значения, к уравнению движения. Этот член, обычно обозначаемый как $-\theta x$ , где θ — коэффициент затухания, и $x$ — текущее отклонение, обеспечивает тенденцию к возврату к среднему значению. Таким образом, траектория процесса OU не является чисто случайной, а представляет собой комбинацию случайных флуктуаций и демпфированного движения к равновесию, что отличает его от стандартных случайных процессов, где отклонения могут неограниченно нарастать.

Процесс Орнштейна — Уленбека особенно хорошо подходит для моделирования явлений, характеризующихся как случайностью, так и инерцией. В частности, он эффективно описывает диффузию частиц в вязкой среде, где случайные тепловые движения частиц (броуновское движение) уравновешиваются силой сопротивления вязкой среды, стремящейся вернуть частицу к ее исходному положению. Данный эффект приводит к тому, что частица не совершает чисто случайное блуждание, а демонстрирует тенденцию к возвращению к среднему значению, при этом сохраняя некоторую инерцию в своем движении. Математически, это отражается в уравнении, включающем как случайный шум, так и член, пропорциональный отклонению от среднего значения, обеспечивая реалистичное моделирование подобных систем.

Процесс Орнштейна — Уленбека отличается высокой математической доступностью, что делает его востребованным как в теоретическом анализе, так и в практическом моделировании. Благодаря наличию аналитических решений для многих его характеристик, таких как функция автокорреляции и спектральная плотность мощности, возможно точное вычисление статистических свойств системы. Это позволяет исследователям получать явные выражения для ключевых параметров и проводить количественный анализ. Кроме того, процесс легко реализуется в численном виде, что упрощает проведение симуляций и оценку поведения системы в различных условиях. Например, возможность выразить процесс в виде $dX_t = -\theta X_t dt + \sigma dW_t$ , где θ — коэффициент возврата к среднему, а σ — интенсивность шума, обеспечивает удобную основу для разработки алгоритмов и проведения статистического анализа.

Сравнение вероятностных распределений скоростей и соответствующих автокорреляций для трех различных моделей процесса Орнштейна-Уленбека в двух измерениях демонстрирует соответствие теоретическим предсказаниям, выраженным уравнениями [latex]\eqref{31}[/latex] и [latex]\eqref{32}[/latex], при фиксированной общей длине процесса [latex]t[/latex]. — Сравнение вероятностных распределений скоростей и соответствующих автокорреляций для трех различных моделей процесса Орнштейна-Уленбека в двух измерениях демонстрирует соответствие теоретическим предсказаниям, выраженным уравнениями $\eqref{31}$ и $\eqref{32}$ , при фиксированной общей длине процесса $t$ .

Математические Основы: Формулировка Процесса Орнштейна-Уленбека

Процесс Орнштейна-Уленбека (ОУ) формально описывается с использованием стохастических дифференциальных уравнений (СДУ), что позволяет проводить его строгий математический анализ. Общая форма СДУ для ОУ процесса выглядит следующим образом: $dX_t = \theta(\mu - X_t)dt + \sigma dW_t$ , где $X_t$ — значение процесса в момент времени t, μ — уровень, к которому стремится процесс, θ — скорость возврата к этому уровню, σ — волатильность, а $dW_t$ — винеровский процесс (броуновское движение). Использование СДУ позволяет применять методы стохастического исчисления для определения характеристик процесса, таких как среднее, дисперсия и автокорреляционная функция, и получать аналитические решения для определенных случаев.

Решения стохастических дифференциальных уравнений (СДУ), описывающих процесс Орнштейна — Уленбека (ОУ), часто включают специальные функции, такие как модифицированная функция Бесселя $I_{\nu}(x)$ и $K_{\nu}(x)$ . Эти функции возникают вследствие комбинации детерминированной силы, стремящейся вернуть процесс к среднему значению, и случайной силы (броуновского движения). Форма модифицированной функции Бесселя отражает специфику взаимодействия этих сил и определяет характер изменения дисперсии процесса ОУ во времени. Использование модифицированных функций Бесселя позволяет аналитически выразить решения СДУ и исследовать их свойства, такие как стационарное распределение и автокорреляционная функция.

Применение стохастического исчисления Ито необходимо для корректной обработки стохастических интегралов, возникающих в формулировке процесса Орнштейна — Уленбека (ОУ). В отличие от обычного исчисления, стохастическое исчисление Ито учитывает особенности интегралов по винеровскому процессу, в частности, нулевую вариацию и недифференцируемость траекторий. Использование правил Ито позволяет корректно вычислять математическое ожидание и дисперсию решения стохастического дифференциального уравнения, описывающего процесс ОУ, а также проводить анализ его статистических свойств. Несоблюдение правил Ито приводит к некорректным результатам и ошибочной интерпретации модели. Формально, решение процесса ОУ выражается через интеграл Ито, что требует строгого применения правил этого исчисления для получения корректных результатов.

Процесс Орнштейна-Уленбека (OU) может быть эквивалентно описан в различных системах координат — декартовой, полярной и кодвижущейся. Представление в декартовой системе координат ( $(x, y)$ ) обеспечивает прямолинейное описание изменения переменных во времени. Переход в полярные координаты ( $(r, \theta)$ ) упрощает анализ радиальной зависимости и угловой эволюции процесса. Кодвижущаяся система координат учитывает изменение масштаба и смещение, что особенно полезно при моделировании процессов, подверженных дрейфу или изменениям в интенсивности. Каждая система координат позволяет выделить специфические аспекты динамики OU-процесса, предоставляя уникальные возможности для анализа и интерпретации результатов моделирования.

Иллюстрация демонстрирует взаимосвязь между декартовой системой координат, определяемой положениями [latex]x_n[/latex] и [latex]y_n[/latex], полярной системой, характеризующейся углом ориентации [latex]\beta_n[/latex] и скоростью [latex]s_n[/latex], и системой отсчета, связанной с движением, описываемой углом поворота [latex]\alpha_n[/latex] и скоростью [latex]s_n[/latex], на четырех последовательных временных шагах. — Иллюстрация демонстрирует взаимосвязь между декартовой системой координат, определяемой положениями $x_n$ и $y_n$ , полярной системой, характеризующейся углом ориентации $\beta_n$ и скоростью $s_n$ , и системой отсчета, связанной с движением, описываемой углом поворота $\alpha_n$ и скоростью $s_n$ , на четырех последовательных временных шагах.

От Теории к Практике: Моделирование Случайных Явлений

Процесс Орнштейна — Уленбека не является лишь абстрактной математической конструкцией; он представляет собой реалистичную модель для множества явлений, наблюдаемых в реальном мире, включая флуктуации на финансовых рынках. Этот процесс, характеризующийся тенденцией к среднему значению и одновременным случайным отклонением, позволяет эффективно описывать динамику цен активов, где внешние факторы и случайные события оказывают сопоставимое влияние. В частности, $\text{OU process}$ позволяет моделировать возврат к равновесию после временных отклонений, что делает его ценным инструментом для анализа и прогнозирования поведения финансовых инструментов, а также для понимания процессов, происходящих в физике, биологии и других областях науки, где наблюдается аналогичная динамика.

Процесс Орнштейна-Уленбека (ОУ) обладает уникальной способностью адекватно описывать движение частиц, подверженных как направленным силам, так и случайным столкновениям. В отличие от упрощенных моделей, учитывающих лишь один из этих факторов, ОУ процесс позволяет одновременно моделировать тенденцию частицы к смещению в определенном направлении — «дрифт» — и ее непредсказуемые колебания, вызванные диффузией. Это делает его незаменимым инструментом в различных областях, от физики коллоидных систем и броуновского движения до анализа финансовых рынков, где цена актива испытывает как тренд, так и случайные колебания. Способность ОУ процесса учитывать оба этих аспекта позволяет создавать более реалистичные и точные модели, что существенно повышает их применимость для решения практических задач и предсказания поведения сложных систем.

Анализ распределения угла поворота в рамках процесса Орнштейна-Уленбека предоставляет ценные сведения о динамике исследуемой системы. Установлено, что данное распределение описывается модифицированной функцией Бесселя, а именно $P(α) \propto |k|K₁(|k|)$ , где $K₁$ — функция Бесселя второго рода. Форма этого распределения позволяет определить ключевые параметры, характеризующие степень случайности и упорядоченности движения, а также выявить влияние внешних сил и столкновений на траекторию частиц. Изучение этого распределения является важным инструментом для понимания механизмов, лежащих в основе различных явлений, от броуновского движения до флуктуаций на финансовых рынках, позволяя не только описать, но и прогнозировать поведение сложных систем.

Аналитически получена функция автокорреляции скорости, описываемая экспоненциальным затуханием $exp[-2γ/m |t-t'|]$ , что было подтверждено посредством численного моделирования. Дальнейшее исследование показало, что автокорреляция косинуса угла $cos(β)$ также демонстрирует экспоненциальный спад, скорость которого напрямую зависит от дисперсии скорости и выражается как $exp[-τ / (2s²)]$ . Удивительно, но автокорреляция угловой скорости проявляет дельта-коррелированное поведение, описываемое функцией Дирака $δ(t-t')$ , что указывает на отсутствие памяти в изменениях угловой скорости и подчеркивает мгновенный характер этих изменений.

Сравнение вероятностных распределений угла поворота и соответствующих автокорреляций для трех моделей процесса Орнштейна - Уленбека в двух измерениях показывает соответствие теоретическим предсказаниям, представленным уравнением (34), и демонстрирует поведение, близкое к δ-функции. — Сравнение вероятностных распределений угла поворота и соответствующих автокорреляций для трех различных моделей процесса Орнштейна-Уленбека в двух измерениях показывает соответствие теоретическим предсказаниям, представленным уравнением (34), и демонстрирует поведение, близкое к δ-функции.

Исследование, представленное в статье, демонстрирует стремление к точному описанию движения организмов, преобразуя случайные процессы между различными системами координат. Этот подход позволяет отделить истинные динамические характеристики от артефактов, возникающих из-за выбранной системы отсчета. Как однажды заметил Галилео Галилей: «Истина не рождается из одной модели, а вырастает из последовательности проверок, ошибок и сомнений». Действительно, авторы не предлагают единственную «правильную» модель, а разрабатывают теоретическую основу, позволяющую последовательно переходить между системами координат и выявлять скрытые закономерности в случайном движении, получая в итоге самосогласованный процесс Орнштейна-Уленбека в движущейся системе отсчета. Эта процедура — не просто математическое упражнение, а попытка приблизиться к пониманию фундаментальных принципов, управляющих жизнью.

Куда же двигаться дальше?

Представленная работа, безусловно, уточняет математический аппарат описания движения организмов, переводя случайные процессы из абсолютных координат в систему, движущуюся вместе с объектом. Однако, не стоит забывать старую истину: любая модель — это компромисс между знанием и удобством. Преобразование координат само по себе не решает проблему интерпретации, а лишь перекладывает её на выбор «удобной» системы отсчета. Что есть «внутренняя динамика», отраженная в полученном орнштейновском процессе? Для кого она «оптимальна»? Для математика, стремящегося к элегантности, или для биолога, пытающегося понять мотивацию животного?

Очевидным направлением развития является расширение класса случайных процессов, подвергающихся подобным преобразованиям. Простые броуновские движения и процессы Орнштейна-Уленбека — лишь отправная точка. Более реалистичные модели, учитывающие корреляции во времени и пространстве, потребуют более сложных математических инструментов и, вероятно, приведут к отказу от аналитических решений в пользу численных методов. И это, возможно, не трагедия, а признание сложности мира.

Наконец, необходимо помнить, что математическая модель — это лишь инструмент. Ценность работы определяется не её математической красотой, а способностью предсказывать наблюдаемые явления и генерировать проверяемые гипотезы. Поэтому, в будущем, необходимо уделить больше внимания сопоставлению теоретических предсказаний с экспериментальными данными и построению моделей, действительно отражающих сложность поведения организмов в реальном мире.

Оригинал статьи: https://arxiv.org/pdf/2512.24937.pdf

Связаться с автором: https://www.linkedin.com/in/avetisyan/

Смотрите также:

2026-01-05 01:16