Квантовый портфель: Новый подход к оптимизации инвестиций

от

Автор: Денис Аветисян

Исследование демонстрирует применение квантовых вычислений для решения задач оптимизации инвестиционного портфеля, предлагая новый метод повышения эффективности и точности.

"Покупай на слухах, продавай на новостях". А потом сиди с акциями никому не известной биотех-компании. Здесь мы про скучный, но рабочий фундаментал.

Бесплатный Телеграм канал
В данной работе предложена вариационная схема, состоящая из квантовых битов и управляемых вентилей [latex]R_z[/latex] и [latex]R_x[/latex], предназначенная для реализации фазового разделения в алгоритме QAOA, где вентили [latex]R_z[/latex] кодируют гамильтониан задачи, а [latex]R_x[/latex] выступают в роли операций смешивания.
В данной работе предложена вариационная схема, состоящая из квантовых битов и управляемых вентилей R_z и R_x, предназначенная для реализации фазового разделения в алгоритме QAOA, где вентили R_z кодируют гамильтониан задачи, а R_x выступают в роли операций смешивания.

Разработана квантовая модель на основе алгоритма QAOA с использованием вспомогательных переменных для обработки задач смешанного двоичного программирования и улучшения выполнения ограничений.

Эффективная обработка ограничений является ключевой проблемой при применении квантовых алгоритмов к задачам финансовой оптимизации. В работе ‘A Quantum Model for Constrained Markowitz Modern Portfolio Using Slack Variables to Process Mixed-Binary Optimization under QAOA’ предложена квантовая модель портфельной оптимизации, использующая метод вспомогательных переменных для непосредственного включения ограничений в гамильтониан. Данный подход, основанный на алгоритме QAOA, позволяет находить оптимальные портфели в ситуациях, когда стандартные методы на основе штрафных функций оказываются неэффективными. Возможно ли, используя подобную архитектуру, существенно расширить границы применимости квантовых вычислений в задачах оптимизации с ограничениями?

Течение Времени и Оптимизация Портфеля: Основы и Пределы

Теория Марковица, совершившая революцию в области инвестиций, основывается на поиске оптимального портфеля активов, максимизирующего ожидаемую доходность при заданном уровне риска. Однако, по мере увеличения количества рассматриваемых активов и усложнения модели, задача оптимизации становится вычислительно непосильной. Вычисление ковариационной матрицы и решение системы уравнений, необходимых для определения оптимальных весов активов, требуют экспоненциального увеличения вычислительных ресурсов. На практике, даже при относительно небольшом количестве активов, время, необходимое для нахождения точного решения, может стать неприемлемым, что делает применение классических методов затруднительным в условиях быстро меняющихся финансовых рынков и требует поиска альтернативных, более эффективных подходов к оптимизации портфеля.

Традиционные методы, лежащие в основе теории портфеля Марковица, несмотря на свою теоретическую обоснованность, сталкиваются со значительными трудностями при моделировании реальных инвестиционных сценариев. Проблема заключается в экспоненциальном росте вычислительной сложности при увеличении числа активов и введении реалистичных ограничений, таких как транзакционные издержки, минимальные объемы инвестиций или лимиты на концентрацию в отдельных секторах. O(n^3) — типичная сложность алгоритмов, используемых для оптимизации портфеля с n активами, что делает их непрактичными для работы с крупными портфелями, характерными для современных финансовых рынков. В результате, получение оптимального решения для портфеля, учитывающего все факторы, становится крайне затруднительным, а существующие методы часто приводят к упрощенным моделям, которые могут не отражать всю полноту инвестиционных возможностей и рисков.

В современных динамичных финансовых рынках потребность в более быстрых и масштабируемых методах оптимизации портфелей становится критически важной. Традиционные алгоритмы, несмотря на свою теоретическую обоснованность, часто сталкиваются с трудностями при обработке больших объемов данных и многочисленных ограничений, характерных для реальных инвестиционных сценариев. Это приводит к задержкам в принятии решений и снижает эффективность управления рисками. Разработка новых, более производительных вычислительных подходов, способных оперативно анализировать и адаптироваться к постоянно меняющимся рыночным условиям, является ключевым фактором для обеспечения конкурентоспособности и максимизации доходности инвестиций. \sigma^2 = \sum_{i=1}^{n} w_i^2 \sigma_i^2 + \sum_{i \neq j} w_i w_j \rho_{ij} \sigma_i \sigma_j — данная формула показывает, что эффективное управление риском требует точного и быстрого расчета ковариации активов, что становится сложной задачей при увеличении количества активов в портфеле.

Квантовый Скачок в Оптимизации: Новый Подход

Квантовые вычисления представляют собой принципиально иную парадигму вычислений, отличающуюся от классической, основанной на битах, принимающих значения 0 или 1. Вместо этого, квантовые вычисления используют кубиты, которые благодаря явлениям суперпозиции и запутанности могут одновременно представлять комбинацию состояний 0 и 1. Это позволяет квантовым алгоритмам исследовать экспоненциально большее количество возможных решений одновременно, что делает их потенциально способными решать сложные оптимизационные задачи, такие как логистика, финансовое моделирование и машинное обучение, которые не поддаются эффективному решению на классических компьютерах из-за их вычислительной сложности. В частности, задачи, требующие перебора огромного числа комбинаций, могут быть решены значительно быстрее при использовании квантовых алгоритмов.

Ключевым преимуществом квантовых вычислений в решении задач оптимизации является возможность одновременного исследования огромного пространства решений благодаря квантовым явлениям суперпозиции и запутанности. В классических вычислениях, каждое возможное решение рассматривается последовательно. В квантовых же алгоритмах, кубит может находиться в состоянии суперпозиции, представляя собой комбинацию всех возможных состояний |\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle, где α и β — амплитуды вероятности. Запутанность позволяет установить корреляции между кубитами, что позволяет выполнять операции над всем пространством решений параллельно. Это экспоненциальное увеличение вычислительной мощности по сравнению с классическими алгоритмами позволяет решать задачи, непрактичные для современных компьютеров.

Для реализации потенциала квантовых вычислений в задачах оптимизации требуется адаптация алгоритмов к специфике квантовых решателей. Это включает в себя преобразование исходной задачи в квантовую форму, например, посредством кодирования переменных и целевой функции в кубиты. Важной проблемой является подверженность квантовых систем ошибкам, вызванным декогеренцией и другими факторами. Для борьбы с этими ошибками применяются методы квантовой коррекции ошибок и алгоритмы, устойчивые к шуму, такие как вариационные квантовые алгоритмы (VQA). Эффективность коррекции ошибок напрямую влияет на масштабируемость и точность решения оптимизационных задач на квантовых компьютерах.

Возведение гамильтониана в степень является ключевым этапом построения унитарных операторов, используемых в алгоритме QAOA.
Возведение гамильтониана в степень является ключевым этапом построения унитарных операторов, используемых в алгоритме QAOA.

Квантовый Алгоритм для Оптимизации Инвестиционного Портфеля

Алгоритм квантовой аппроксимации оптимизации (QAOA) представляет собой метод поиска приближенных решений для сложных задач оптимизации, включая задачи, возникающие при построении инвестиционных портфелей. QAOA использует принципы квантовых вычислений для исследования пространства возможных решений и нахождения таких, которые минимизируют или максимизируют целевую функцию, определяющую эффективность портфеля. В отличие от классических алгоритмов, QAOA потенциально может обеспечить преимущество в скорости и эффективности решения для определенных типов оптимизационных задач, особенно тех, которые характеризуются высокой сложностью и большим числом переменных. Применимость QAOA в финансовой сфере обусловлена возможностью учета различных факторов, влияющих на доходность и риск портфеля, таких как корреляции между активами, ограничения на инвестиции и транзакционные издержки.

Для применения алгоритма Квантового Приближенного Оптимизатора (QAOA) к задаче оптимизации портфеля, необходимо предварительно сформулировать её в виде задачи Квадратичной Неограниченной Бинарной Оптимизации (QUBO). Этот процесс требует сопоставления финансовых переменных — таких как доли активов в портфеле — с бинарными кубитами, принимающими значения 0 или 1. Каждый кубит представляет собой решение о включении или исключении конкретного актива из портфеля. Преобразование в QUBO позволяет представить сложную задачу портфельного управления в форме, пригодной для решения с использованием квантовых вычислений, где оптимизация сводится к поиску минимального энергетического состояния системы, описываемой кубитами и их взаимодействиями.

Формулировка задачи оптимизации портфеля в виде QUBO использует гамильтониан, который кодирует целевую функцию и ограничения портфеля. Гамильтониан представляет собой математический оператор, описывающий энергию системы, в данном случае — портфеля активов. Взаимодействия между активами моделируются на основе концепций модели Изинга, где спины (в контексте портфеля — доли активов) могут взаимодействовать друг с другом, определяя общую энергию (риск и доходность) портфеля. H = \sum_{i} h_i \sigma_i + \sum_{i,j} J_{ij} \sigma_i \sigma_j — типичное представление гамильтониана Изинга, где \sigma_i представляет спин i-го актива, h_i — внешнее поле, а J_{ij} — сила взаимодействия между активами i и j. Использование модели Изинга позволяет эффективно описывать корреляции между активами и их влияние на общую оптимизацию портфеля.

Эффективное применение алгоритма QAOA в задачах оптимизации портфеля требует решения задач смешанной бинарно-непрерывной оптимизации. В контексте управления активами, бинарные переменные обычно используются для представления решений о включении или исключении конкретных активов из портфеля, в то время как непрерывные переменные отражают величину инвестиций в выбранные активы. Такой подход позволяет моделировать более реалистичные сценарии, где инвестор может выбирать активы для включения в портфель и одновременно оптимизировать объемы инвестиций в каждый актив. Решение задач смешанной оптимизации требует использования специализированных методов, сочетающих алгоритмы для бинарных и непрерывных переменных, и может потребовать дополнительных преобразований или приближений для эффективной реализации на квантовых вычислительных устройствах.

Неустойчивая сходимость стандартного QAOA, основанного на штрафах, проявляется в постоянном выборе недопустимого состояния [latex]|111⟩[/latex], что указывает на типичную проблему - неспособность оптимизатора удовлетворить жестким ограничениям задачи.
Неустойчивая сходимость стандартного QAOA, основанного на штрафах, проявляется в постоянном выборе недопустимого состояния |111⟩, что указывает на типичную проблему — неспособность оптимизатора удовлетворить жестким ограничениям задачи.

Сравнение с Классическими Методами и Перспективы Развития

Для оценки применимости квантового алгоритма QAOA к задаче оптимизации инвестиционного портфеля, его эффективность сопоставлялась с результатами, полученными с помощью устоявшегося классического алгоритма COBYLA. Такое сравнение позволило всесторонне оценить потенциальные преимущества QAOA в скорости и качестве решения, а также определить области, где квантовый подход может превзойти традиционные методы. Особенно важным аспектом стало сопоставление полученных портфельных стоимостей и оценка способности алгоритмов учитывать реалистичные ограничения, такие как транзакционные издержки и лимиты на объём активов, что необходимо для практической значимости результатов.

Сравнение решений, полученных с помощью квантового алгоритма QAOA и классических методов оптимизации, таких как алгоритм COBYLA, позволяет оценить потенциальные преимущества в скорости и величине итоговой стоимости портфеля. Анализ демонстрирует, что, при решении задачи оптимизации портфеля, QAOA, особенно с применением метода slack-ancilla embedding, способен достигать оптимальных решений, сопоставимых с результатами, полученными классическими алгоритмами. В частности, для трех активов, квантовый подход обеспечивает стоимость портфеля в 0.0468, что соответствует классическому оптимальному решению, в то время как стандартная реализация QAOA дает значение 0.0376. Такое сопоставление не только подтверждает работоспособность квантового алгоритма, но и открывает возможности для дальнейшей разработки и оптимизации квантовых стратегий управления инвестициями.

Оценка эффективности алгоритмов оптимизации портфеля, как классических, так и квантовых, требует учета реалистичных ограничений, таких как транзакционные издержки и лимиты на владение активами. Игнорирование этих факторов приводит к непрактичным решениям, далеким от реальных финансовых условий. Введение ограничений позволяет более точно смоделировать рыночную ситуацию и выявить алгоритмы, способные находить оптимальные портфели, соответствующие заданным требованиям и ограничениям. Тщательный анализ с учетом транзакционных издержек и лимитов активов демонстрирует способность алгоритма находить не только оптимальные, но и выполнимые решения, что критически важно для практического применения в управлении инвестициями.

Исследование демонстрирует разработанную квантовую структуру на основе QAOA, использующую метод slack-ancilla встраивания, которая позволяет достигать оптимальных решений в задаче оптимизации портфеля и гарантированно обеспечивает допустимость результатов. В ходе экспериментов на 3-активном портфеле, предложенный подход достиг значения портфеля в 0.0468, полностью совпадающего с результатами, полученными классическими алгоритмами, в то время как стандартная реализация QAOA показала значение 0.0376. Применение slack-ancilla встраивания гарантирует 100% допустимость решений, что является существенным преимуществом над стандартной реализацией QAOA, которая часто сходится к недопустимым результатам.

Внедрение метода slack-ancilla обеспечивает стопроцентную гарантию допустимости полученных решений, что является существенным преимуществом по сравнению со стандартной реализацией QAOA. В то время как стандартный алгоритм QAOA часто сходится к нереализуемым решениям, не удовлетворяющим заданным ограничениям, slack-ancilla позволяет получать всегда корректные и применимые портфели. Данный подход особенно важен при решении задач оптимизации, где соблюдение ограничений является критически важным, например, при учёте транзакционных издержек или лимитов на владение активами. Достижение полной допустимости решений существенно повышает практическую ценность и надёжность квантового алгоритма в контексте оптимизации инвестиционных портфелей.

Исследование демонстрирует стремление к оптимизации сложных систем, что неминуемо сопряжено с течением времени и неизбежными ограничениями. Подобно тому, как системы стареют, не из-за внутренних ошибок, а из-за влияния времени, предложенный квантовый подход к портфельной оптимизации стремится смягчить ограничения, а не устранить их полностью. Как отмечает Стивен Хокинг: «Чтобы понять Вселенную, нужно просто принять, что она сложна». Данная работа, используя алгоритм QAOA и метод ослабления ограничений, подтверждает эту сложность и предлагает способ навигации в ней, позволяя системам функционировать более эффективно даже под давлением ограничений. Оптимизация, как и время, — это среда, в которой существуют системы, и данное исследование стремится улучшить их адаптацию к этой среде.

Куда Ведет Дорога?

Представленная работа, подобно любому акту версионирования, зафиксировала состояние поиска оптимального портфеля. Однако, стрела времени неумолимо указывает на необходимость рефакторинга. Успешное применение квантового подхода с использованием метода slack-ancilla внутри QAOA — это не столько решение, сколько перенос проблемы в иную плоскость. Вопросы масштабируемости, особенно в контексте реальных финансовых рынков с их бесконечной сложностью, остаются открытыми. Даже если квантовые вычисления и позволят найти локальный оптимум быстрее, гарантии достижения глобального максимума, как и в классических алгоритмах, отсутствуют.

Особое внимание следует уделить адаптации алгоритма к динамически меняющимся ограничениям и параметрам рынка. Любая модель, каким бы элегантным она ни была, — это лишь снимок реальности. Устойчивость к шумам и погрешностям квантовых вычислений — это не просто техническая задача, а философский вопрос о природе вычислений и их связи с физическим миром. В конечном итоге, задача оптимизации портфеля сводится не к поиску идеального решения, а к управлению неопределенностью.

Будущие исследования, вероятно, будут сосредоточены на гибридных подходах, сочетающих в себе преимущества квантовых и классических алгоритмов. И, возможно, самое важное — это осознание того, что все системы стареют — вопрос лишь в том, делают ли они это достойно. Умение адаптироваться и эволюционировать — вот истинная метрика успеха в мире, где время — не линейная шкала, а сложная среда.

Оригинал статьи: https://arxiv.org/pdf/2601.03278.pdf

Связаться с автором: https://www.linkedin.com/in/avetisyan/

Смотрите также:

2026-01-08 08:21