Квантовые вычисления для оценки опционов: от модели до результата

Автор: Денис Аветисян

Исследование демонстрирует полный цикл применения квантовых алгоритмов для многофакторной оценки опционов, обеспечивающий значительное ускорение вычислений.

"Покупай на слухах, продавай на новостях". А потом сиди с акциями никому не известной биотех-компании. Здесь мы про скучный, но рабочий фундаментал.

Бесплатный Телеграм канал

Сходимость точности при оценке многомерной опционной цены демонстрирует, что выбранный метод позволяет достичь стабильных результатов при расчете сложных финансовых инструментов, что крайне важно для точного ценообразования и управления рисками.

Представлен пайплайн, объединяющий арбитражно-устойчивое моделирование рынка с квантовым ускорением методов Монте-Карло для оценки многомерных опционов.

Вычисление справедливой стоимости многофакторных опционов представляет собой сложную задачу, требующую значительных вычислительных ресурсов. В работе, озаглавленной ‘Quantum computing for multidimensional option pricing: End-to-end pipeline’, предложен сквозной подход, объединяющий арбитражно-устойчивое моделирование рыночных данных с квантовыми методами ускорения Монте-Карло. Показано, что применение квантовой оценки амплитуды позволяет добиться квадратичного ускорения сходимости по сравнению с классическими методами при оценке многомерных опционов. Открывает ли это путь к созданию масштабируемых квантовых решений для ценообразования сложных производных финансовых инструментов?

За гранью Блэка-Шоулза: Ограничения традиционного ценообразования опционов

Модель Блэка-Шоулза, являясь краеугольным камнем ценообразования опционов, базируется на упрощающих предположениях, которые зачастую не соответствуют реальной рыночной динамике. В частности, допущение о постоянной волатильности и нормальном распределении доходности активов нередко не выполняется на практике, что приводит к неверной оценке опционов и, как следствие, к повышению рисков для инвесторов. Несмотря на свою математическую элегантность и широкое распространение, модель подвержена ошибкам при моделировании экстремальных рыночных условий или активов с нелинейным поведением. Игнорирование этих ограничений может привести к существенным расхождениям между теоретической ценой опциона и его фактической рыночной стоимостью, создавая возможности для арбитража и увеличивая потенциальные убытки.

Предположения о постоянстве волатильности и нормальном распределении доходностей, лежащие в основе многих традиционных моделей ценообразования опционов, зачастую не соответствуют реальным рыночным условиям. На практике, волатильность подвержена значительным колебаниям, формируя так называемые «волатильные кластеры», а распределение доходностей часто характеризуется «толстыми хвостами» и асимметрией, что означает более высокую вероятность экстремальных событий, чем предсказывает нормальное распределение. Эти отклонения приводят к систематическим ошибкам в ценообразовании опционов и недооценке рисков, что обуславливает необходимость разработки более сложных и адекватных моделей, способных учитывать динамику волатильности и ненормальность распределения доходностей, таких как модели стохастической волатильности и модели с использованием скачков $P<a href="https://top-mob.com/chto-takoe-stabilizator-i-dlya-chego-on-nuzhen/">ois</a>son$ .

Сложные производные финансовые инструменты, такие как корзинные и спред-опционы, значительно усугубляют ограничения традиционных моделей ценообразования. В отличие от опционов на отдельные активы, эти инструменты зависят от взаимосвязанных рынков и нелинейных выплат. Модели, основанные на предположении о независимости активов и нормальном распределении доходностей, оказываются неспособными адекватно оценить их стоимость и риски. Корзинные опционы, например, зависят от поведения целого портфеля активов, где корреляции между ними играют решающую роль. Спред-опционы, в свою очередь, оценивают разницу в ценах между двумя активами, требуя учета коинтеграции и возможности арбитража. Поэтому, для адекватной оценки таких инструментов требуются более сложные модели, учитывающие стохастическую волатильность, скачки цен, и корреляции между активами, а также способные обрабатывать нелинейные функции выплат, что делает их анализ существенно сложнее, чем анализ простых опционов.

Калибровка модели для опционов Credit Agricole с датой экспирации 19/12/2025 (данные на 24/12/2024, спотовая цена 12.91 EUR) с параметрами [latex]\bar{\\alpha}=4.69[/latex], [latex]\bar{\\beta}=-3.06[/latex], [latex]\bar{\\delta}=0.18[/latex] и [latex]\lambda=5\\times 10^{-7}[/latex] позволила точно воспроизвести рыночные неявные волатильности и откалибровать функцию плотности логнормального распределения, используя неявную волатильность ATM. — Калибровка модели для опционов Credit Agricole с датой экспирации 19/12/2025 (данные на 24/12/2024, спотовая цена 12.91 EUR) с параметрами $\bar{\\alpha}=4.69$ , $\bar{\\beta}=-3.06$ , $\bar{\\delta}=0.18$ и $\lambda=5\\times 10^{-7}$ позволила точно воспроизвести рыночные неявные волатильности и откалибровать функцию плотности логнормального распределения, используя неявную волатильность ATM.

Моделирование рыночной реальности: Ненормальные распределения и корреляции

Распределение нормального закона (Gaussian distribution) часто неадекватно описывает динамику финансовых активов, поскольку реальные рыночные данные демонстрируют асимметрию (skewness) и более толстые хвосты (fat tails), указывающие на повышенную вероятность экстремальных событий. Распределение нормального гамма-закона (NIG distribution) является параметрическим распределением, способным моделировать эти характеристики. Оно характеризуется четырьмя параметрами: α (параметр формы), β (параметр асимметрии), δ (масштабный параметр) и μ (параметр местоположения). Благодаря этим параметрам NIG distribution позволяет более точно учитывать риски, связанные с редкими, но значительными колебаниями цен активов, по сравнению с традиционным нормальным распределением, что делает его предпочтительным выбором в задачах количественного анализа рисков и ценообразования деривативов.

Гауссовская копула представляет собой статистический инструмент, позволяющий моделировать структуру зависимостей между несколькими активами. В отличие от предположения о линейной корреляции, копула позволяет описывать нелинейные и более сложные взаимосвязи, что критически важно для адекватной оценки рисков и справедливой цены на многоактивные производные финансовые инструменты. Метод основан на разделении маргинальных распределений отдельных активов и их структуры зависимости. Это позволяет независимо моделировать распределения доходностей каждого актива, а затем, используя гауссовскую копулу, описывать взаимосвязь между ними. Математически, гауссовская копула определяется как функция распределения, основанная на многомерном нормальном распределении с корреляционной матрицей, отражающей степень зависимости между активами. Использование гауссовской копулы позволяет более точно оценивать вероятности совместного наступления экстремальных событий, что необходимо для расчета Value-at-Risk (VaR) и других показателей риска для портфелей, состоящих из нескольких активов.

Комбинирование нормального гамма-распределения (NIG) и гауссовской копулы позволяет получить более точное представление о риск-нейтральной плотности вероятности (risk-neutral density, RND). В то время как традиционные модели часто полагаются на предположение о нормальном распределении доходностей активов, что не соответствует эмпирическим данным, NIG-распределение учитывает асимметрию и “толстые хвосты”, характерные для финансовых рынков. Гауссовская копула, в свою очередь, моделирует взаимосвязи между различными активами, позволяя учитывать корреляции при расчете RND для мульти-активных деривативов. Точное определение RND является ключевым входным параметром для моделей ценообразования опционов, поскольку оно используется для дисконтирования ожидаемых выплат по опциону и определения его справедливой стоимости. Использование NIG-распределения и гауссовской копулы совместно позволяет снизить погрешность при построении RND и, следовательно, повысить точность оценки опционов, особенно в условиях рыночной нестабильности и ненормального распределения доходностей.

Оценка плотности и распределения функций NIG для AXA методами CMC и QAMC показывает зависимость от параметра [latex]\mathcal{K}[/latex]. — Оценка плотности и распределения функций NIG для AXA методами CMC и QAMC показывает зависимость от параметра $\mathcal{K}$ .

Ускорение симуляций: Монте-Карло и за его пределами

Метод Монте-Карло остается краеугольным камнем ценообразования производных финансовых инструментов, однако его медленная сходимость может стать узким местом, особенно при работе со сложными инструментами. Сходимость метода, определяемая количеством необходимых симуляций для достижения заданной точности, обратно пропорциональна корню квадратному из требуемой точности $\frac{1}{\sqrt{\epsilon}}$ . Это означает, что для повышения точности в два раза требуется учетверение количества симуляций. Для инструментов с высокой размерностью или сложными зависимостями между переменными, требуемое количество симуляций быстро возрастает, приводя к значительным вычислительным затратам и замедляя процесс оценки и управления рисками. В результате, классические методы Монте-Карло могут оказаться неприменимыми для задач, требующих высокой скорости и точности.

В основе методов моделирования Монте-Карло лежит приближение интегралов, в частности, использование сумм Римана. Суть метода заключается в замене непрерывного интеграла, представляющего собой математическое ожидание некоторой функции, конечной суммой значений этой функции, вычисленных в дискретных точках. Точность такого приближения напрямую зависит от количества используемых точек — чем больше точек, тем выше точность, но и больше вычислительные затраты. $\in t_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x$ , где $\Delta x$ — ширина интервала, а $x_i$ — точки, в которых вычисляется функция. Таким образом, увеличение количества точек в сумме Римана приводит к снижению погрешности, но требует больше вычислительных ресурсов, что является фундаментальным ограничением классических методов Монте-Карло.

Квантовая оценка амплитуды (Quantum Amplitude Estimation, QAE) представляет собой алгоритм, способный существенно ускорить вычисления в задачах, традиционно решаемых методом Монте-Карло. В отличие от классических методов, требующих увеличения числа итераций пропорционально $1/\epsilon^2$ для достижения заданной точности ε, QAE обеспечивает квадратичное ускорение, снижая требуемое количество итераций до $1/\epsilon$ . Это ускорение открывает возможности для реализации задач ценообразования деривативов и управления рисками в режиме реального времени, что ранее было недостижимо из-за вычислительных ограничений. Применение QAE позволяет значительно сократить время вычислений, особенно для сложных финансовых инструментов, требующих большого количества симуляций для получения надежных результатов.

Квантово-ускоренный метод Монте-Карло (QAMC), использующий преимущества квантовых вычислений, обеспечивает существенный прирост производительности по сравнению с классическими методами. В частности, для достижения сопоставимой точности QAMC требует на 10-100 запросов меньше, чем классический метод Монте-Карло (CMC). Важным отличием является скорость сходимости ошибки: QAMC демонстрирует сходимость ошибки как 1/ε, в то время как CMC — 1/ $\epsilon^2$ . Данное различие указывает на значительно более эффективное уменьшение ошибки при повышении точности расчетов, что делает QAMC перспективным инструментом для задач, требующих высокой точности и скорости вычислений.

Методы CMC и QAMC сходятся к одинаковой точности оценки [latex]a_{k}[/latex] с течением времени. — Методы CMC и QAMC сходятся к одинаковой точности оценки $a_{k}$ с течением времени.

Калибровка и валидация: Обеспечение точности модели

Калибровка играет важнейшую роль в построении адекватных финансовых моделей, обеспечивая соответствие параметров модели реальным рыночным данным. Этот процесс позволяет существенно снизить погрешности в ценообразовании финансовых инструментов и эффективно управлять арбитражными возможностями. Некорректная калибровка может привести к значительным ошибкам в оценке рисков и, как следствие, к убыткам. Точная подгонка модели к наблюдаемым рыночным ценам не только повышает надежность ценообразования, но и способствует более эффективному управлению портфелем и принятию обоснованных инвестиционных решений. Использование современных методов калибровки, учитывающих специфику различных рынков и инструментов, является ключевым фактором успешной работы финансовых моделей.

Для повышения точности подгонки сложных распределений вероятностей, таких как нормальное инверсное гауссовское (NIG) распределение, применяются методы разложения в ряд Коши. Этот подход позволяет эффективно аппроксимировать плотность распределения, используя сумму косинусных функций. Разложение в ряд Коши особенно полезно, когда стандартные методы параметрической оптимизации сталкиваются с трудностями при работе с функциями, не имеющими аналитического решения. Вместо непосредственной оценки параметров распределения, процедура сводится к определению коэффициентов разложения, что значительно упрощает процесс калибровки модели и повышает её устойчивость к шумам в данных. $\sum_{k=0}^{\in fty} a_k \cos(kx)$ — типичное представление ряда Коши, используемое для аппроксимации сложной функции.

Точная калибровка модели имеет первостепенное значение для обеспечения её соответствия текущей рыночной конъюнктуре и предоставления надежной оценки широкого спектра опционов. В процессе калибровки параметры модели корректируются таким образом, чтобы максимально точно отражать наблюдаемые рыночные данные, включая цены на базовые активы и волатильность. Это позволяет существенно снизить погрешности ценообразования и обеспечить адекватную оценку стоимости различных опционных контрактов, что критически важно для трейдеров и управляющих рисками. Более того, корректная калибровка позволяет модели адекватно реагировать на изменения рыночных условий, обеспечивая актуальность и достоверность результатов ценообразования в динамично меняющейся среде.

Применение более реалистичных предположений и передовых методов симуляции значительно повышает эффективность управления рисками и принятия решений в финансовом моделировании. Традиционные модели часто упрощают реальные рыночные процессы, что может приводить к недооценке рисков и неточному ценообразованию. Внедрение усовершенствованных техник, таких как стохастическое моделирование и анализ чувствительности, позволяет учесть больше факторов неопределенности и оценить потенциальное влияние различных сценариев на портфель. Это, в свою очередь, способствует более обоснованному распределению капитала, снижению вероятности убытков и оптимизации инвестиционных стратегий. $\sigma^2$ В результате, модели, основанные на реалистичных допущениях и продвинутых симуляциях, становятся незаменимым инструментом для финансовых институтов и инвесторов, стремящихся к повышению надежности и прибыльности своих операций.

Калибровка модели для опциона AXA с датой экспирации 19/12/2025 (данные на 24/12/2024, спотовая цена 33.8 EUR) с параметрами [latex]\bar{\\alpha}=5.24[/latex], [latex]\bar{\\beta}=-3.26[/latex], [latex]\bar{\\delta}=0.18[/latex] и [latex]\lambda=5\\times 10^{-7}[/latex] позволила добиться соответствия между рыночными и откалиброванными неявными волатильностями, а также между априорной и откалиброванной лог-нормальными плотностями. — Калибровка модели для опциона AXA с датой экспирации 19/12/2025 (данные на 24/12/2024, спотовая цена 33.8 EUR) с параметрами $\bar{\\alpha}=5.24$ , $\bar{\\beta}=-3.26$ , $\bar{\\delta}=0.18$ и $\lambda=5\\times 10^{-7}$ позволила добиться соответствия между рыночными и откалиброванными неявными волатильностями, а также между априорной и откалиброванной лог-нормальными плотностями.

Представленная работа демонстрирует не столько покорение финансовых рынков, сколько смиренное наблюдение за их сложностью. Разработка квантового конвейера для оценки многомерных опционов, ускоряющего сходимость по сравнению с классическими методами, напоминает о хрупкости любой модели. Как будто, стремясь уловить мельчайшие колебания рынка с помощью квантовых вычислений, исследователи лишь на мгновение заглядывают в бездну, прежде чем горизонт событий заблуждений вновь поглотит их усилия. Карл Саган однажды сказал: «Мы — звездная пыль, стремящаяся понять самих себя». В данном случае, звездная пыль — это сложные финансовые инструменты, а стремление к пониманию — попытка создать адекватную модель ценообразования, зная, что совершенство недостижимо.

Куда Ведет Эта Дорога?

Представленный подход, ускоряющий оценку многомерных опционов посредством квантовых вычислений, напоминает о тех картах, которые не отражают океан. Достигнутое квадратичное ускорение — значимый шаг, однако истинная сложность финансовых рынков заключается не только в скорости вычислений, но и в адекватности самой модели. Арбитражно-свободное моделирование — необходимое условие, но не гарантия отражения реальной динамики. Вопрос о том, насколько точно выбранные распределения, такие как NIG, соответствуют наблюдаемым данным, остаётся открытым.

Будущие исследования должны быть направлены не только на совершенствование квантовых алгоритмов, но и на разработку более гибких и реалистичных моделей рыночных факторов. В частности, необходимо учитывать влияние нелинейных зависимостей и нелокальных событий, которые сложно уловить с помощью традиционных статистических методов. Когда свет изгибается вокруг массивного объекта, это как напоминание о нашей ограниченности в понимании сложной реальности.

В конечном итоге, успех квантовых вычислений в финансах будет зависеть не от скорости, а от способности создавать модели, которые выдерживают проверку временем и отражают истинную природу риска. Иначе, все эти вычисления превратятся в изысканную игру с числами, оторванную от реального мира.

Оригинал статьи: https://arxiv.org/pdf/2601.04049.pdf

Связаться с автором: https://www.linkedin.com/in/avetisyan/

Смотрите также:

2026-01-08 10:10