Оптимальная транспортировка по Мартингейлам: от теории к ускорению с помощью нейросетей

Автор: Денис Аветисян

В статье представлен новый подход к решению задач оптимальной транспортировки по Мартингейлам, сочетающий теоретическую строгость с возможностями нейронных сетей для повышения скорости вычислений.

"Покупай на слухах, продавай на новостях". А потом сиди с акциями никому не известной биотех-компании. Здесь мы про скучный, но рабочий фундаментал.

Бесплатный Телеграм канал

Оптимальный план переноса [latex]\pi^{\*}\_{0,1}[/latex] для синтетических маржиналов GBM демонстрирует разреженную концентрацию вероятностной массы, при этом диагональная структура отражает ограничение мартингала [latex]\mathbb{E}[X\_{1}|X\_{0}]=X\_{0}[/latex], а сконцентрированный пик вблизи точки [latex](x\_{0},x\_{1})=(5500,6500)[/latex] указывает на высоковероятный путь перехода. — Оптимальный план переноса $\pi^{\*}\_{0,1}$ для синтетических маржиналов GBM демонстрирует разреженную концентрацию вероятностной массы, при этом диагональная структура отражает ограничение мартингала $\mathbb{E}[X\_{1}|X\_{0}]=X\_{0}$ , а сконцентрированный пик вблизи точки $(x\_{0},x\_{1})=(5500,6500)$ указывает на высоковероятный путь перехода.

Разработка и анализ нейросетевой аппроксимации для многопериодной оптимальной транспортировки по Мартингейлам с применением в финансовом моделировании.

Несмотря на возрастающую сложность финансовых инструментов, эффективное и быстрое ценообразование и управление рисками остаются сложной задачей. В настоящей работе, ‘Multi-Period Martingale Optimal Transport: Classical Theory, Neural Acceleration, and Financial Applications’, предложен новый вычислительный подход к многопериодному мартингальному оптимальному транспорту, сочетающий теоретический анализ с алгоритмическими улучшениями и нейросетевыми методами. Разработанный подход демонстрирует значительное ускорение решения задачи, достигая скорости онлайн-инференса в $1{,}597$ раз, при сохранении высокой точности выполнения мартингальных ограничений. Открывает ли это путь к созданию более эффективных и масштабируемых моделей для управления финансовыми рисками в реальном времени?

Преодолевая Ограничения: Необходимость Адаптивности в Ценообразовании

Традиционные финансовые модели, такие как Black-Scholes, опираются на ряд упрощающих предположений, которые часто не соответствуют реальным рыночным условиям. Например, предполагается нормальное распределение доходности активов и постоянная волатильность, что игнорирует «толстые хвосты» распределения и периодические скачки цен, характерные для финансовых рынков. Эти упрощения приводят к систематической недооценке или переоценке финансовых инструментов, а также к недооценке рисков, особенно в периоды высокой волатильности или резких изменений на рынке. В результате, полагаясь на такие модели, инвесторы и финансовые учреждения подвергаются повышенному риску убытков и неоптимальному распределению капитала. $\sigma^2$ Особенно заметно это проявляется при ценообразовании экзотических опционов и других сложных производных инструментов, где стандартные модели оказываются неадекватными.

Современные финансовые рынки характеризуются стремительным усложнением инструментов и динамикой процессов, что требует от методов ценообразования большей адаптивности и точности. Традиционные модели, несмотря на свою историческую значимость, зачастую не способны адекватно отразить реальные рыночные условия, учитывая нелинейные зависимости и сложные взаимодействия между различными факторами. Появление экзотических деривативов, рост объемов торгов и увеличение скорости передачи информации предъявляют новые требования к алгоритмам оценки стоимости активов. В связи с этим, разработка и внедрение более гибких и точных моделей ценообразования, учитывающих специфику конкретных инструментов и рыночной конъюнктуры, становится критически важной задачей для обеспечения эффективного управления рисками и принятия обоснованных инвестиционных решений. Устаревшие подходы, основанные на упрощенных предположениях, все чаще приводят к неверной оценке активов и, как следствие, к финансовым потерям.

Существующие модели ценообразования, несмотря на свою распространенность, часто оказываются неспособными адекватно отразить реальное поведение финансовых активов. Проблема заключается в том, что рыночные цены нередко подвержены внезапным скачкам, не предусмотренным в стандартных моделях, и демонстрируют изменчивую волатильность, которая не является постоянной величиной. Такая стохастическая волатильность — волатильность, изменяющаяся случайным образом во времени — существенно влияет на стоимость опционов и других производных финансовых инструментов. Неспособность учесть эти факторы приводит к систематическим ошибкам в оценке рисков и возможностей, подчеркивая необходимость разработки новых парадигм ценообразования, способных более точно моделировать сложные динамики рынка и учитывать влияние $\sigma(t)$ — функции, описывающей волатильность, меняющуюся во времени.

Метод многомерного Монте-Карло (MMOT) обеспечивает бесмодельное ценообразование деривативов с умеренными вычислительными затратами, представляя собой компромисс между высокой модельной зависимостью метода Блэка-Шоулза и высокой вычислительной сложностью линейного программирования.

MMOT: Новый Подход к Безарбитражному Ценообразованию

Метод MMOT (Multi-period Optimal Transport) обеспечивает надежную структуру для оценки финансовых деривативов за счет явного применения мартингального ограничения, гарантируя отсутствие арбитражных возможностей. В отличие от традиционных моделей, которые часто полагаются на предположения о распределении активов, MMOT не делает таких предположений, что повышает устойчивость к изменениям рыночной конъюнктуры. Применение мартингального ограничения, которое требует, чтобы дисконтированное ожидаемое значение будущей выплаты равнялось текущей цене, обеспечивает согласованность модели и исключает возможность получения прибыли без риска. Это достигается путем решения задачи оптимальной транспортировки, которая находит наиболее экономичный способ сопоставления будущих выплат с текущими ценами, соблюдая при этом условие отсутствия арбитража.

В отличие от традиционных параметрических методов ценообразования, MMOT (Minimal Martingale Optimal Transport) является непараметрическим, что позволяет ему моделировать сложные зависимости между активами и более точно отражать различные типы рыночного поведения. Параметрические модели требуют предварительного задания конкретной функциональной формы для описываемой зависимости, что может привести к систематическим ошибкам, если эта форма не соответствует реальным данным. MMOT, напротив, не накладывает таких ограничений, определяя справедливую цену активов непосредственно из данных о будущих выплатах и используя оптимальный транспорт для построения согласованной кривой дисконтирования. Это позволяет MMOT адаптироваться к сложным динамикам рынка, включая нелинейные зависимости и эффекты, не улавливаемые стандартными моделями, такими как модели с фиксированной волатильностью или нормальным распределением.

В основе метода MMOT лежит решение задачи оптимального транспорта, применяемой к множеству временных горизонтов. Данная задача формализует процесс сопоставления будущих выплат по производным финансовым инструментам их текущей стоимостью. Решение задачи оптимального транспорта определяет функцию переноса, минимизирующую “стоимость” перемещения вероятностных масс будущих выплат во времени к текущему моменту. Это позволяет определить справедливую цену производного инструмента, избегая возможности арбитража, поскольку все будущие выплаты корректно дисконтируются к текущей стоимости на основе оптимальной стратегии. Математически, задача выражается как минимизация функционала, включающего стоимость транспортировки вероятностных масс, с учетом ограничений на сохранение вероятности и неотрицательность плотности переноса. $\min_{\pi} \in t_{T} c(x,y) d\pi(x,y)$ , где π — план транспортировки, а $c(x,y)$ — функция стоимости транспортировки выплаты $x$ в момент времени $t$ к выплате $y$ в момент времени 0.

Анализ риск-нейтральных маржиналов, основанный на данных рынка января 2026 года, показывает концентрацию краткосрочной (30-дневной) плотности вероятности вблизи текущей цены ([latex]\$6,050.50[/latex]), в то время как долгосрочная (90-дневная) плотность имеет более широкую поддержку, отражая повышенную неопределенность и мультимодальную структуру, достигнутую благодаря диверсифицированному обучению (GBM/Merton/Heston) на основе опционов S&P 500 (с разбросом bid-ask в пределах ±0.5%). — Анализ риск-нейтральных маржиналов, основанный на данных рынка января 2026 года, показывает концентрацию краткосрочной (30-дневной) плотности вероятности вблизи текущей цены ( $\$6,050.50$ ), в то время как долгосрочная (90-дневная) плотность имеет более широкую поддержку, отражая повышенную неопределенность и мультимодальную структуру, достигнутую благодаря диверсифицированному обучению (GBM/Merton/Heston) на основе опционов S&P 500 (с разбросом bid-ask в пределах ±0.5%).

Ускорение MMOT: Вычислительная Эффективность и Сходимость

Алгоритм Синкхорна играет ключевую роль в эффективном решении регуляризованной задачи оптимального транспорта, лежащей в основе MMOT, значительно снижая вычислительные затраты. В отличие от классических методов, требующих решения линейных задач больших размеров, алгоритм Синкхорна итеративно приближает решение путем масштабирования строк и столбцов матрицы затрат. Это позволяет избежать явного решения линейной программы, заменяя ее серией простых операций, что существенно ускоряет вычисления, особенно при работе с большими объемами данных и высокой размерностью пространства. Эффективность алгоритма Синкхорна обусловлена его вычислительной сложностью, которая масштабируется более благоприятно по сравнению с традиционными подходами к решению задачи оптимального транспорта.

Энтропийная регуляризация играет ключевую роль в стабилизации процесса оптимизации в алгоритме MMOT. Введение энтропийного члена в функцию стоимости позволяет избежать проблем с неустойчивостью и расходимостью, часто возникающих при решении задачи оптимального транспорта. Это достигается за счет сглаживания функции стоимости и обеспечения более плавного градиента, что существенно упрощает процесс поиска оптимального решения. В результате, энтропийная регуляризация не только гарантирует сходимость алгоритма, но и повышает надежность получаемых результатов ценообразования, делая их более устойчивыми к небольшим изменениям входных данных и обеспечивая более точную оценку справедливой стоимости активов.

Внедрение архитектур Transformer и метода градиентного спуска в рамках MMOT позволило значительно ускорить вычисления и повысить производительность. Тестирование на аппаратной платформе Apple M4 продемонстрировало увеличение скорости обработки в 1597 раз по сравнению с классическим решателем. Данное ускорение достигается за счет параллельной обработки данных и эффективной оптимизации параметров модели, что позволяет существенно сократить время, необходимое для расчета цен активов и проведения других операций в рамках модели MMOT.

Нейронный решатель демонстрирует значительное ускорение по сравнению с классическим алгоритмом Синхорна, достигая максимального коэффициента в [latex]6882 imes[/latex] при [latex]N=20[/latex], [latex]M=200[/latex], при этом прирост производительности зависит от размера задачи и ограничивается накладными расходами для малых задач и пропускной способностью памяти для больших. — Нейронный решатель демонстрирует значительное ускорение по сравнению с классическим алгоритмом Синхорна, достигая максимального коэффициента в $6882 imes$ при $N=20$ , $M=200$ , при этом прирост производительности зависит от размера задачи и ограничивается накладными расходами для малых задач и пропускной способностью памяти для больших.

Масштабируемость и Надежность: Оценка Производительности MMOT

Скорость сходимости алгоритма MMOT является определяющим фактором его практической применимости в задачах финансового моделирования. Теоретическое обоснование этой сходимости опирается на принцип Донскера, позволяющий утверждать о нормальном характере асимптотического распределения процесса, что обеспечивает стабильность и предсказуемость результатов. По сути, этот принцип гарантирует, что при достаточно большом количестве итераций, погрешность алгоритма стремится к нулю с предсказуемой скоростью, что критически важно для надежной калибровки моделей и оценки рисков. Таким образом, математическая строгость, подтвержденная принципом Донскера, является фундаментом для доверия к MMOT как к эффективному инструменту в арсенале количественных аналитиков.

Вычислительная сложность алгоритма MMOT остается существенной проблемой, требующей постоянного внимания исследователей. Несмотря на высокую точность и эффективность в моделировании финансовых инструментов, значительные вычислительные затраты могут ограничивать его применение в задачах, требующих высокой скорости обработки данных или работы с большими объемами информации. В настоящее время ведутся активные исследования, направленные на снижение этой вычислительной нагрузки. Эти усилия включают в себя оптимизацию существующих алгоритмов, разработку новых методов аппроксимации и использование параллельных вычислений. Особое внимание уделяется поиску компромисса между точностью вычислений и требуемыми ресурсами, чтобы обеспечить практическую применимость MMOT в различных сценариях моделирования и управления рисками.

Результаты тестирования алгоритма MMOT демонстрируют высокую точность ценообразования. На модельном примере Геометрического броуновского движения (GBM) средняя ошибка составляет всего 0.77%, а на более сложном, диверсифицированном наборе тестов, включающем модели Мертона и Хестона, — 1.10%. Кроме того, алгоритм успешно справляется с проблемой смещения дрифта, достигая целевого значения менее 0.05 на выборке из 120 реальных рыночных данных, где измеренное значение составило 0.045. Такие показатели свидетельствуют о надежности и практической применимости MMOT для решения задач финансового моделирования и оценки рисков.

Экспериментальные данные о скорости сходимости (синие кружки) подтверждают теоретическую зависимость [latex]O(\sqrt{\Delta t})[/latex] (красная пунктирная линия с наклоном -0.5), что согласуется с оценкой из теоремы 3. — Экспериментальные данные о скорости сходимости (синие кружки) подтверждают теоретическую зависимость $O(\sqrt{\Delta t})$ (красная пунктирная линия с наклоном -0.5), что согласуется с оценкой из теоремы 3.

Исследование демонстрирует, что кажущаяся сложность финансовых моделей часто маскирует хрупкость их структуры. Авторы предлагают элегантное решение — использование нейронных сетей для аппроксимации многопериодного мартингального оптимального транспорта. Это позволяет значительно ускорить расчеты, сохраняя при этом теоретическую строгость. Как заметил Мишель Фуко: «Власть не подавляет, а производит». В данном случае, нейронные сети не просто упрощают расчеты, но и открывают новые возможности для моделирования сложных финансовых инструментов, позволяя увидеть скрытые закономерности и управлять рисками более эффективно. Акцент на сходимости и теоретических гарантиях подчеркивает стремление к созданию не просто быстрого, но и надежного инструмента.

Что Дальше?

Представленная работа, несомненно, продвигает теорию многопериодного мартингального оптимального транспорта (ММОТ), но, как часто бывает, решение одной задачи неизбежно порождает новые вопросы. Ускорение расчетов с помощью нейронных сетей — элегантное решение, но и оно не свободно от компромиссов. Точность аппроксимации, хотя и подкреплена теоретическими гарантиями, остается критическим аспектом, особенно при работе с негладкими функциями выплат или при экстраполяции за пределы исследованного диапазона. Простота подхода, как известно, часто оказывается более устойчивой, но и требует постоянной проверки на предмет скрытых ошибок.

Будущие исследования, вероятно, сосредоточатся на расширении области применения ММОТ за рамки ценообразования производных инструментов. Адаптация к неполным рынкам, учет транзакционных издержек и интеграция с моделями машинного обучения, способными к самообучению, — вот направления, обещающие значительные результаты. Однако следует помнить: сложная модель, даже если она идеально соответствует историческим данным, остается лишь упрощением реальности.

И, наконец, необходимо уделить внимание вычислительной эффективности и масштабируемости предложенного подхода. Нейронные сети — мощный инструмент, но и требовательный к ресурсам. Поиск компромисса между точностью, скоростью и вычислительными затратами — задача, которая, вероятно, будет оставаться актуальной на долгие годы. Элегантность, в конечном счете, заключается не в сложности, а в минимализме.

Оригинал статьи: https://arxiv.org/pdf/2601.05290.pdf

Связаться с автором: https://www.linkedin.com/in/avetisyan/

Смотрите также:

2026-01-12 13:24