Нечеткие числа и асимметрия: новый подход к оптимизации портфеля

Автор: Денис Аветисян

В статье представлен эффективный и надежный метод оценки асимметрии нечетких чисел, основанный на квантильной функции, и демонстрируется его применение в задачах оптимизации инвестиционного портфеля.

"Покупай на слухах, продавай на новостях". А потом сиди с акциями никому не известной биотех-компании. Здесь мы про скучный, но рабочий фундаментал.

Бесплатный Телеграм канал

В рамках оптимизации портфеля с тремя активами, представленными нечеткими числами [latex]\xi_1[/latex], [latex]\xi_2[/latex] и [latex]\xi_3[/latex], применяется метод, ограничивающий порог, где вычисляются математическое ожидание, дисперсия и асимметрия для каждой тройки весов, после чего фиксируются два из этих параметров в соответствии с предпочтениями принимающего решения, а из оставшегося подмножества выбирается тройка весов, максимизирующая асимметрию. — В рамках оптимизации портфеля с тремя активами, представленными нечеткими числами $\xi_1$ , $\xi_2$ и $\xi_3$ , применяется метод, ограничивающий порог, где вычисляются математическое ожидание, дисперсия и асимметрия для каждой тройки весов, после чего фиксируются два из этих параметров в соответствии с предпочтениями принимающего решения, а из оставшегося подмножества выбирается тройка весов, максимизирующая асимметрию.

Предложенная параметрически-свободная мера асимметрии для нечетких чисел находит применение в задачах оптимизации портфеля с учетом пороговых ограничений.

Несмотря на широкое применение нечетких чисел для моделирования неопределенностей, адекватное измерение их асимметрии остается сложной задачей. В работе ‘Quantile-Based Skewness for Fuzzy Numbers with Probabilistic Foundations: With an Application in Portfolio Optimization’ предложен новый, параметро-независимый коэффициент асимметрии для нечетких чисел, основанный на квантильной функции и имеющий строгие вероятностные основания. Этот подход интерпретирует компоненты функций принадлежности как кумулятивные и функции выживания соответствующих случайных величин, что обеспечивает устойчивость к преобразованиям масштаба и местоположения, а также значительное повышение вычислительной эффективности в задачах оптимизации портфеля. Способны ли предложенные методы открыть новые перспективы для более точного и эффективного управления рисками в условиях неопределенности?

Моделирование Неопределенности: Основы Нечеткой Логики

Традиционные методы оптимизации инвестиционного портфеля, как правило, опираются на точные числовые значения, предполагая, что будущие доходы и риски известны с абсолютной уверенностью. Однако, финансовые рынки по своей природе характеризуются высокой степенью неопределенности и волатильности. Предположение о точности данных часто приводит к нереалистичным моделям и, как следствие, к ошибочным инвестиционным решениям. Например, прогнозирование доходности акций или облигаций с использованием фиксированных цифр игнорирует влияние множества факторов, таких как макроэкономические изменения, политические события и настроения инвесторов. В результате, оптимизированные портфели, основанные на таких упрощенных моделях, могут оказаться недостаточно устойчивыми к рыночным колебаниям и не обеспечить желаемого уровня доходности при приемлемом риске. В связи с этим, возникает необходимость в подходах, способных адекватно учитывать и моделировать присущую финансовым рынкам неопределенность.

В отличие от традиционных методов, предполагающих точные значения для оценки рисков и доходности инвестиций, нечёткие числа предлагают принципиально иной подход. Они позволяют представить неточность и неопределённость, присущие финансовым рынкам, в виде математических объектов. Вместо фиксированного значения, нечёткое число описывается диапазоном возможных значений с указанием степени их принадлежности к этому диапазону. Это особенно важно при моделировании ситуаций, когда данные неполны или субъективны — например, при оценке будущих доходов или вероятности дефолта. Используя нечёткие числа, можно создать более реалистичную и гибкую модель инвестиционного портфеля, способную учитывать широкий спектр возможных сценариев и адаптироваться к изменяющимся рыночным условиям. Такой подход позволяет инвесторам принимать более обоснованные решения, минимизируя риски и максимизируя потенциальную прибыль, особенно в условиях высокой волатильности и неопределенности.

Понятие вероятностного распределения играет ключевую роль в понимании и работе с нечеткими числами, предоставляя вероятностную основу для обработки неточной информации. В отличие от традиционных методов, которые требуют точных значений, нечеткие числа позволяют представлять переменные, значения которых не определены однозначно. Вероятностное распределение, примененное к нечеткому числу, описывает степень принадлежности каждого возможного значения к этому числу, позволяя оценить вероятность различных исходов. $\mu(x)$ — функция принадлежности, определяющая степень принадлежности значения $x$ к нечеткому множеству. Это особенно важно при моделировании финансовых рынков, где будущие значения активов непредсказуемы, и использование вероятностных распределений для нечетких чисел позволяет более реалистично оценивать риски и доходность инвестиций, учитывая неопределенность и субъективность оценок.

Нечёткое число ξ может быть интерпретировано как функция распределения [latex]X_L[/latex] и функция выживания [latex]X_R[/latex] случайных величин, а соответствующие функции плотности вероятности [latex]f_{X_L}(x)[/latex] и [latex]f_{X_R}(x)[/latex] получаются дифференцированием компонентов нечёткого числа, что демонстрируется на примере 3.1 и согласуется с уравнениями (21) и (22). — Нечёткое число ξ может быть интерпретировано как функция распределения $X_L$ и функция выживания $X_R$ случайных величин, а соответствующие функции плотности вероятности $f_{X_L}(x)$ и $f_{X_R}(x)$ получаются дифференцированием компонентов нечёткого числа, что демонстрируется на примере 3.1 и согласуется с уравнениями (21) и (22).

Количественная Оценка Асимметрии: Введение в Нечетную Смещенность

Коэффициент FuzzySkewness является ключевой метрикой для оценки асимметрии в нечетких распределениях. Асимметрия, определяемая как отклонение от симметричного распределения, может указывать на систематические искажения в ожидаемых значениях доходности. Положительная асимметрия предполагает больший шанс получения высокой доходности, но также и повышенный риск убытков, в то время как отрицательная асимметрия указывает на противоположное. В контексте финансовых моделей и анализа рисков, $FuzzySkewnessCoefficient$ позволяет выявить потенциальные смещения в оценках ожидаемой доходности и адекватно скорректировать стратегии управления рисками, учитывая особенности нечетких данных.

Существующие методы оценки асимметрии в нечетких данных, такие как LGY15Skewness и VB13Skewness, демонстрируют ограниченную точность при работе со сложными наборами данных. Данные ограничения связаны с их чувствительностью к структуре нечетких множеств и предположениями о распределении вероятностей. В частности, LGY15Skewness может давать неточные результаты при наличии значительного перекрытия между нечеткими множествами, а VB13Skewness — при нелинейных зависимостях в данных. Это приводит к искажению оценки асимметрии и, как следствие, к неверной интерпретации смещения ожидаемых значений в нечетких системах.

Наше исследование направлено на углубление понимания коэффициента FuzzySkewnessCoefficient путём разработки новых подходов, основанных на квантилях. Данные методы позволяют более эффективно вычислять асимметрию в нечетких распределениях, демонстрируя значительное повышение вычислительной эффективности по сравнению с существующими решениями. В частности, использование квантилей позволяет снизить вычислительную сложность и повысить скорость обработки больших объемов нечетких данных, что критически важно для практических приложений в области анализа рисков и принятия решений.

Визуализация примера 3.2 демонстрирует построение функции принадлежности [latex]\xi(x)[/latex] на основе вероятностных распределений Бета (верхний график) и кумулятивных функций распределения, формирующих левый и правый наклоны (средний график), с указанием ключевых границ и квантилей, используемых для расчета асимметрии. — Визуализация примера 3.2 демонстрирует построение функции принадлежности $\xi(x)$ на основе вероятностных распределений Бета (верхний график) и кумулятивных функций распределения, формирующих левый и правый наклоны (средний график), с указанием ключевых границ и квантилей, используемых для расчета асимметрии.

Квантильный Подход: Коэффициенты Смещенности JKPT

Коэффициенты JKPT1Skewness и JKPT2Skewness вычисляют асимметрию, используя квантильные значения, что обеспечивает надежную оценку даже при ограниченном объеме данных. В отличие от традиционных методов, основанных на моментовном анализе, использование квантилей снижает чувствительность к выбросам и позволяет получать более стабильные результаты в ситуациях, когда данные не соответствуют нормальному распределению. Вычисление асимметрии на основе квантилей основывается на определении $Q_1$ (25-й процентиль) и $Q_3$ (75-й процентиль), а также медианы $Q_2$ . Асимметрия вычисляется как разница между расстояниями от медианы до верхнего и нижнего квантилей, нормированная на межквартильный размах. Такой подход позволяет избежать проблем, связанных с оценкой моментов при небольшом размере выборки, и обеспечивает более устойчивую оценку асимметрии.

Методы JKPT1Skewness и JKPT2Skewness демонстрируют свойства масштабно-инвариантности и сдвиго-инвариантности, что обеспечивает стабильность результатов при различных преобразованиях данных. Масштабно-инвариантность означает, что изменение единиц измерения данных (например, переход от рублей к долларам) не влияет на вычисленные коэффициенты асимметрии. Сдвиго-инвариантность гарантирует, что добавление константы ко всем значениям данных также не изменяет полученные результаты. Эти свойства достигаются за счет использования квантилей, что позволяет получать надежные оценки асимметрии независимо от абсолютных значений данных и их положения на шкале.

Коэффициенты JKPT1Skewness и JKPT2Skewness позволяют создавать более эффективные стратегии оптимизации портфеля благодаря точному определению асимметрии распределения. В отличие от традиционных методов, они демонстрируют превосходство по скорости вычислений, особенно при увеличении количества активов в портфеле, что подтверждается данными, представленными на Рисунке 4. Это позволяет значительно сократить время, необходимое для построения оптимального портфеля, и повысить эффективность инвестиционных решений, особенно в условиях больших объемов данных и высокой волатильности рынка.

Время вычислений оптимизации портфеля зависит от используемой версии модели (34) и определения асимметрии: синяя линия соответствует [latex]\operatorname{\\mathbb{S}}\\_{LGY15}([64])[/latex], жёлтая - [latex]\operatorname{\\mathbb{S}}\\_{VB13}([98])[/latex], а красная - нашей версии [latex]\operatorname{\\mathbb{S}}\\_{JKPT\\_{1}(0.5)(0.25)}[/latex], при оптимизации по минимальной дисперсии (a), максимальной асимметрии (b) или ожидаемому значению (c). — Время вычислений оптимизации портфеля зависит от используемой версии модели (34) и определения асимметрии: синяя линия соответствует $\operatorname{\\mathbb{S}}\\_{LGY15}([64])$ , жёлтая — $\operatorname{\\mathbb{S}}\\_{VB13}([98])$ , а красная — нашей версии $\operatorname{\\mathbb{S}}\\_{JKPT\\_{1}(0.5)(0.25)}$ , при оптимизации по минимальной дисперсии (a), максимальной асимметрии (b) или ожидаемому значению (c).

Оптимизация Портфеля с Учетом Нечетной Смещенности

Оптимизация портфеля с использованием нечеткого коэффициента асимметрии $FuzzySkewnessCoefficient$ представляет собой усовершенствованный подход к построению инвестиционных портфелей, направленный на максимизацию доходности при заданном уровне риска. В отличие от традиционных моделей, учитывающих только среднюю доходность и волатильность, данный метод интегрирует асимметрию распределения доходности, что позволяет более точно оценить потенциальные убытки и извлечь выгоду из несимметричных рыночных условий. Использование нечеткой логики в определении коэффициента асимметрии позволяет учесть субъективные оценки инвестора и неопределенность рыночных данных, обеспечивая более гибкий и реалистичный подход к управлению рисками и формированию оптимальных портфельных стратегий. Такой подход способствует созданию портфелей, более устойчивых к негативным шокам и способных генерировать более высокую доходность при заданном уровне риска, что делает его привлекательным для инвесторов, стремящихся к стабильному и предсказуемому росту капитала.

Оптимизация портфеля с учетом пороговых ограничений представляет собой усовершенствованный подход к формированию инвестиционного портфеля, который позволяет более точно контролировать риски и доходность. В отличие от традиционных методов, ограничивающихся только средним значением и дисперсией, данный метод вводит конкретные пороговые значения для желаемого уровня риска и ожидаемой доходности. Это позволяет инвестору не только максимизировать прибыль при заданном уровне риска, но и гарантировать, что портфель соответствует заранее определенным финансовым целям и ограничениям. Такой подход особенно важен в условиях волатильности рынка, поскольку он обеспечивает большую стабильность и предсказуемость инвестиций, предотвращая выход за пределы допустимых рисковых границ и обеспечивая более эффективное управление капиталом.

Интеграция квантильных мер асимметрии позволяет создавать инвестиционные портфели, демонстрирующие повышенную устойчивость к колебаниям рынка. Такой подход учитывает предпочтения инвесторов, стремящихся к снижению рисков в периоды нестабильности, и обеспечивает формирование разумных, неискаженных портфельных аллокаций. Ключевым преимуществом является ограничение коэффициента асимметрии в пределах [-1, 1], что гарантирует его интерпретируемость и предотвращает возникновение нереалистичных или экстремальных результатов. В отличие от традиционных методов, этот подход позволяет более точно оценить потенциальные убытки в «хвостах» распределения, обеспечивая более надежную защиту капитала и улучшая общую эффективность портфеля.

Исследование, представленное в данной работе, демонстрирует, что надежная оценка асимметрии нечётких чисел является ключевым элементом эффективной оптимизации портфеля. Предложенный метод, основанный на квантильных функциях, позволяет избежать субъективности, присущей параметрическим мерам. Как отмечал Никола Тесла: «Главное — не открывать новые вещи, а мыслить по-новому». Эта фраза отражает суть подхода, реализованного в статье: вместо использования устоявшихся, но потенциально неточных методов, авторы предлагают принципиально новый взгляд на проблему измерения асимметрии, что позволяет достичь более устойчивых и надежных результатов в контексте оптимизации портфеля.

Куда двигаться дальше?

Представленное исследование, хотя и демонстрирует вычислительную эффективность нового подхода к измерению асимметрии нечётких чисел, лишь слегка приоткрывает завесу над сложностью моделирования неопределённости. По сути, оно поднимает вопрос: достаточно ли нам простого числового выражения асимметрии, или же необходимо учитывать контекст её проявления в конкретной задаче оптимизации? Поиск универсальной меры, свободной от допущений о распределении, представляется утопичным — в природе редко встречаются абсолютно независимые факторы.

Дальнейшие исследования, вероятно, будут направлены на интеграцию предложенного подхода с другими методами управления рисками, такими как Value-at-Risk и Expected Shortfall, адаптированными для нечётких переменных. Интересным представляется и исследование чувствительности полученных решений к различным параметрам квантильной функции — насколько устойчивы оптимальные портфели к небольшим изменениям в определении порога? Ошибка модели неизбежна, и признание этого факта — ключ к более глубокому пониманию.

В конечном итоге, предложенный метод — это не столько окончательный ответ, сколько приглашение к дальнейшему исследованию. Асимметрия — это лишь один из аспектов неопределённости, и полное её понимание требует междисциплинарного подхода, объединяющего математику, финансы и теорию принятия решений. Поиск истины, как известно, бесконечен.

Оригинал статьи: https://arxiv.org/pdf/2602.20183.pdf

Связаться с автором: https://www.linkedin.com/in/avetisyan/

Смотрите также:

2026-02-25 11:08