Цена влияния: Оптимизация добычи при учете рыночного воздействия

от

Автор: Денис Аветисян

В новой работе представлена модель стохастического управления для максимизации прибыли от добычи ресурсов, учитывающая влияние объемов добычи на рыночную цену.

"Покупай на слухах, продавай на новостях". А потом сиди с акциями никому не известной биотех-компании. Здесь мы про скучный, но рабочий фундаментал.

Бесплатный Телеграм канал

Исследование посвящено разработке стратегии извлечения ресурсов с учетом диффузионно-скачкового процесса и применению уравнения Гамильтона-Якоби для определения оптимальной барьерной стратегии.

Несмотря на широкое использование моделей ценообразования товаров, учет влияния действий агента на динамику цен остается сложной задачей. В статье ‘Optimal extraction with an impact on diffusion-jump pricing’ рассматривается задача оптимальной добычи ресурсов, при которой действия агента оказывают пропорциональное негативное влияние на цену товара, изменяющуюся по диффузионно-прыжковому процессу. Получена аналитическая формула оптимальной стратегии, основанной на барьерном правиле, максимизирующей ожидаемую чистую прибыль агента. Возможно ли расширение предложенного подхода для моделирования более сложных рыночных условий и рисков, связанных с волатильностью цен и непредсказуемыми скачками?

Отрицательные цены на товарных рынках: вызов для традиционного ценообразования

Недавние события, в частности, резкое падение цен на West Texas Intermediate (WTI), наглядно продемонстрировали возможность ухода стоимости товара в отрицательную область, что стало беспрецедентным вызовом для участников рынка. В апреле 2020 года цена на фьючерсы на нефть WTI впервые в истории опустилась ниже нуля, отражая острую нехватку мощностей для хранения и логистики в условиях резкого снижения спроса, вызванного пандемией COVID-19. Данный феномен поставил под вопрос устоявшиеся принципы ценообразования и заставил пересмотреть существующие модели прогнозирования, подчеркнув необходимость учета факторов, влияющих на физические ограничения при хранении и транспортировке товаров, а также поведенческих аспектов продавцов, готовых платить за избавление от излишков.

Традиционные модели ценообразования, широко используемые для анализа товарных рынков, зачастую оказываются неспособными адекватно отразить динамику, приводящую к отрицательным ценам. Основная проблема заключается в том, что эти модели, как правило, сосредотачиваются на факторах спроса, недооценивая при этом влияние действий продавцов. В ситуациях, когда предложение значительно превышает спрос, а затраты на хранение товара высоки, продавцы могут быть готовы платить за избавление от него, что приводит к отрицательным ценам. Существующие модели редко учитывают такие поведенческие аспекты и экономические стимулы, что делает их прогнозы неточными в условиях кризисных ситуаций, таких как резкое падение цен на нефть WTI в 2020 году. Таким образом, для более реалистичной оценки рисков и возможностей на товарных рынках необходимы новые модели, учитывающие активную роль продавцов и их готовность к убыткам, чтобы избежать нежелательных последствий.

Существование оговорки о нулевой цене, или ZeroPriceFloorClause, указывает на необходимость разработки моделей ценообразования, учитывающих практические ограничения, накладываемые контрактами на товарных рынках. Традиционные экономические модели часто предполагают неограниченную возможность убытков, однако реальные контракты, как правило, содержат положения, препятствующие продаже товара по цене ниже нуля. Это обусловлено логистическими сложностями и издержками, связанными с хранением и утилизацией товара, а также юридическими аспектами, не позволяющими продавцу выплачивать покупателю за прием товара. Следовательно, адекватное моделирование ценовых процессов требует учета этих контрактных ограничений, что позволяет более точно прогнозировать поведение рынка и избегать непредсказуемых ситуаций, подобных падению цен на нефть WTI ниже нуля в 2020 году.

Формулировка оптимальной задачи извлечения выгоды

Оптимальная задача извлечения (OptimalExtractionProblem) формулируется как определение наилучшей стратегии для агента по продаже товара в условиях неопределенности цены и возможности возникновения отрицательных цен. Данная задача предполагает максимизацию ожидаемой прибыли от продажи товара во времени, учитывая стохастическую динамику цены и влияние объема продаж на саму цену. Особенностью является необходимость учитывать возможность того, что цена может опуститься ниже нуля, что требует от агента разработки стратегии, позволяющей избежать или минимизировать убытки в таких ситуациях. Решение задачи включает в себя определение оптимального темпа продаж и моментов, когда следует воздержаться от продажи, чтобы максимизировать общую прибыль с учетом рыночных рисков.

Динамика цены товара моделируется как взвешенный броуновский процесс с скачками, что позволяет более реалистично отразить поведение рынка по сравнению с упрощенными моделями. В данной модели цена P_t описывается стохастическим дифференциальным уравнением, учитывающим как непрерывное случайное изменение (броуновский процесс), так и резкие, скачкообразные изменения, вызванные внешними факторами. Дрифт в уравнении отражает тенденцию к росту или падению цены, а скачки моделируют внезапные изменения, вызванные новостями, политическими событиями или другими непредсказуемыми факторами. Использование модели с прыжками необходимо для адекватного описания рынков, где наблюдаются резкие колебания цен и нелинейные зависимости.

В рамках рассматриваемой задачи оптимальной продажи товара, влияние действий агента на цену товара моделируется как аддитивно-пропорциональное негативное воздействие. Это означает, что увеличение объема предложения со стороны агента приводит к снижению цены, состоящему из двух компонентов: фиксированной величины (аддитивный компонент) и величины, пропорциональной объему проданного товара (пропорциональный компонент). Математически это можно представить как \Delta P = -a - b \cdot Q , где \Delta P — изменение цены, a — фиксированное негативное влияние, b — коэффициент пропорционального влияния, а Q — объем проданного товара. Данная модель позволяет учесть, что увеличение предложения оказывает как общее давление на цену, так и усиливается в зависимости от объема продаж, отражая рыночную реакцию на изменения предложения.

Динамическое программирование для оптимальной продажи

Для решения задачи оптимальной продажи (OptimalExtractionProblem) используется уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана (HJBEquation), представляющее собой мощный метод динамического программирования. HJBEquation позволяет вывести функцию ценности V(x), которая выражает максимальную ожидаемую прибыль агента в зависимости от текущего состояния x. Функция ценности рассчитывается рекурсивно, основываясь на текущей прибыли и ожидаемой будущей прибыли, полученной от оптимальных действий в будущих периодах. Решение HJBEquation предоставляет оптимальную стратегию принятия решений, максимизирующую ожидаемую прибыль агента во времени, учитывая динамику цен и другие факторы, влияющие на прибыль.

Решение уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана (HJB) приводит к формированию пороговой стратегии (BarrierStrategy), определяющей критический уровень цены, при котором агент должен начинать продажу своего товара. Этот критический уровень цены является функцией параметров динамики цены, включая дрифт, волатильность и частоту скачков (jump rates). То есть, порог продажи рассчитывается на основе математической модели, учитывающей тенденцию изменения цены (дрифт), степень ее изменчивости (волатильность) и вероятность резких скачков, позволяя агенту оптимизировать ожидаемую прибыль за счет балансировки риска удержания товара и возможности получения отрицательных цен. P_{threshold} = f(drift, volatility, jump\_rates) .

Стратегия максимизации ожидаемой прибыли агента достигается путем взвешивания риска удержания товара и потенциальной возможности получения отрицательных цен. Данный подход предполагает, что оптимальное время продажи определяется не только текущей ценой, но и вероятностью ее дальнейшего изменения, учитывая как непрерывные колебания (дрифт и волатильность), так и скачкообразные изменения (частота скачков). Решение HJB-уравнения позволяет определить критический ценовой порог, при достижении которого продажа товара становится наиболее выгодной с точки зрения максимизации математического ожидания прибыли, минимизируя при этом потери, связанные с возможным снижением цены ниже нуля.

Проверка модели и оценка ее устойчивости

Результаты исследования демонстрируют превосходство предложенной стратегии BarrierStrategy над широко используемыми подходами, такими как LogPriceModel, особенно в условиях повышенной волатильности цен и вероятности неблагоприятных исходов. В отличие от упрощенных моделей, BarrierStrategy определяет критический порог, основанный на динамике цен, что позволяет более эффективно реагировать на рыночные колебания и минимизировать потенциальные убытки. Проведенные тесты показали, что в сценариях с резкими изменениями цен, предложенная стратегия демонстрирует значительное улучшение показателей, обеспечивая более стабильные результаты и снижая риски, связанные с непредсказуемым поведением рынка.

В отличие от упрощенных моделей ценообразования, разработанная методика учитывает явление средней регрессии в динамике товарных цен, что обеспечивает более реалистичное отражение рыночного поведения. В традиционных подходах часто предполагается, что цены движутся случайным образом, игнорируя присущую товарным рынкам тенденцию к возвращению к долгосрочному среднему значению. Учет средней регрессии позволяет модели точнее прогнозировать краткосрочные колебания и снижать вероятность переоценки или недооценки, особенно в периоды повышенной волатильности. Этот подход, в отличие от моделей, полагающихся на случайные блуждания, предоставляет более надежную основу для оценки рисков и принятия обоснованных инвестиционных решений на товарных рынках, поскольку он отражает фундаментальные характеристики ценообразования.

Исследование выявило существенные расхождения между допущениями предлагаемой модели и классическим процессом Орнштейна-Уленбека. В то время как процесс Орнштейна-Уленбека предполагает плавное возвращение цены к среднему значению, анализ показывает, что динамика товарных цен характеризуется скачкообразными изменениями, не улавливаемыми данной моделью. Это указывает на необходимость более сложного математического аппарата, способного адекватно отражать риски внезапных, резких колебаний цен, присущие товарным рынкам. Игнорирование этих «скачков» может приводить к недооценке потенциальных убытков и неверным стратегиям управления рисками, что подчеркивает важность разработки более реалистичных моделей, учитывающих нелинейность и прерывистость ценовых процессов.

Представленное исследование демонстрирует элегантную простоту в моделировании сложной задачи оптимальной добычи ресурсов. Подход, основанный на стохастическом управлении и учитывающий влияние добычи на цену, подчеркивает взаимосвязь между отдельными элементами системы. Как однажды заметил Эрнест Резерфорд: «Если бы вы думаете, что знаете, то вы не понимаете». Эта фраза отражает суть представленной работы: понимание динамики цены и оптимальной стратегии добычи требует глубокого анализа всей системы, а не только отдельных её компонентов. Разработка стратегии, основанной на барьерном принципе, иллюстрирует, как структурные изменения могут приводить к значительным изменениям в поведении системы, что соответствует принципу, что структура определяет поведение.

Куда Ведет Эта Дорога?

Представленная работа, сконцентрировавшись на оптимальной добыче ресурсов с учетом влияния на цену, неизбежно обнажает сложность систем, где каждая зависимость — это скрытая цена свободы. Разработанная стратегия, основанная на барьерном подходе, представляется элегантным решением, однако, как и любое упрощение, не может полностью отразить хаотичность реальных рынков. Вопрос о робастности этой стратегии к изменениям в структуре диффузионно-скачкового процесса остается открытым.

Особое внимание следует уделить исследованию взаимосвязи между скоростью добычи и динамикой скачков в ценообразовании. Недостаточно ли мы полагаемся на математическую красоту модели, игнорируя нелинейные эффекты и возможности внезапных, непредсказуемых изменений? Дальнейшее развитие потребует углубленного анализа влияния неполной информации и асимметрии между участниками рынка.

В конечном счете, задача оптимального извлечения ресурсов — это не только математическая головоломка, но и отражение более широкой философской проблемы: как находить баланс между краткосрочной выгодой и долгосрочной устойчивостью системы. Истина, вероятно, кроется не в совершенстве алгоритма, а в понимании ограничений и изменчивости мира.

Оригинал статьи: https://arxiv.org/pdf/2602.21274.pdf

Связаться с автором: https://www.linkedin.com/in/avetisyan/

Смотрите также:

2026-02-26 15:42