Цена ликвидности: Математика автоматического маркет-мейкинга

от

Автор: Денис Аветисян

Новая работа предлагает всесторонний математический анализ стратегий обеспечения ликвидности в автоматических маркет-мейкерах с постоянной функцией.

"Покупай на слухах, продавай на новостях". А потом сиди с акциями никому не известной биотех-компании. Здесь мы про скучный, но рабочий фундаментал.

Бесплатный Телеграм канал

Исследование характеризует риски, выводит показатели подразумеваемой волатильности и оптимизирует стратегии вывода средств, используя инструменты ценообразования деривативов и анализ времени первого прохода.

Несмотря на растущую популярность автоматизированных маркет-мейкеров (AMM), адекватное ценообразование и управление рисками в этой среде остаются сложной задачей. В работе ‘Pricing and hedging for liquidity provision in Constant Function Market Making’ разработана математическая основа для анализа и оценки ликвидности в AMM, основанная на переходе от анализа резервов к координатной системе, определяемой ценой и внутренней ликвидностью. Ключевым результатом является представление непостоянных убытков (Impermanent Loss) как взвешенной полосы опционов, что позволяет определить структуру подразумеваемой волатильности для профилей ликвидности. Сможем ли мы, используя эти инструменты, создать более эффективные стратегии предоставления ликвидности и снизить риски для участников рынка?

Неуловимая Природа Ликвидности: Дилемма Поставщика

Децентрализованные финансы (DeFi) функционируют благодаря ликвидности, которую обеспечивают поставщики ликвидности (LP). Эти участники вносят свои активы в пулы ликвидности, позволяя другим пользователям совершать сделки. Однако, предоставляя ликвидность, LP сталкиваются с риском, известным как непостоянная потеря (Impermanent Loss). Этот риск возникает из-за волатильности цен на активы в пуле. Если цена внесенных активов существенно изменяется по отношению друг к другу, LP может понести убытки, которые были бы меньше, если бы он просто удерживал эти активы вне пула ликвидности. Таким образом, несмотря на возможность получения комиссионных от торговли, поставщики ликвидности должны тщательно оценивать потенциальный риск непостоянной потери, прежде чем вносить свои активы в пулы DeFi.

Потеря непостоянства возникает, когда цены внесенных в пул ликвидности активов расходятся в разные стороны. Данное явление создает разницу между стоимостью активов, если бы они просто хранились в кошельке, и стоимостью, полученной от предоставления ликвидности. Представьте ситуацию: пользователь вносит два актива в равной пропорции. Если цены на эти активы остаются стабильными, он получает ожидаемую прибыль от торговых комиссий. Однако, если один актив значительно дорожает, а другой дешевеет, пул ликвидности автоматически балансирует активы, продавая часть подорожавшего актива и покупая подешевевший. Это приводит к тому, что пользователь получает меньше дорогого актива и больше дешевого, чем если бы он просто держал их изначально, тем самым испытывая финансовые потери, не связанные с комиссиями за транзакции.

Традиционные финансовые модели, разработанные для оценки рисков на устоявшихся рынках, оказываются недостаточно эффективными применительно к динамичной среде децентрализованных финансов (DeFi). Основная сложность заключается в том, что волатильность цен на криптоактивы и механизм автоматизированного маркет-мейкинга, характерные для DeFi, создают уникальные паттерны риска, не учитываемые стандартными подходами. В частности, оценка непостоянной потери (Impermanent Loss) требует учета сложных взаимосвязей между ценами активов в пуле ликвидности, а также скорости и величины их изменений. Существующие модели часто не способны адекватно отразить эту динамику, что затрудняет точную оценку потенциальных убытков для поставщиков ликвидности и препятствует разработке эффективных стратегий хеджирования. Поэтому, для обеспечения устойчивости и предсказуемости DeFi, необходимы новые, адаптированные модели оценки и управления рисками, учитывающие специфику этого инновационного финансового сектора.

Автоматизированная Ликвидность: Взгляд на Постоянного Функционального Маркет-мейкера

Одним из доминирующих подходов к автоматизированному обеспечению ликвидности является модель Постоянного Функционального Маркет-мейкера (CFMM), ярким примером которой служит Uniswap V3. В отличие от традиционных маркет-мейкеров, использующих книги ордеров, CFMM полагаются на математическую функцию для определения обменного курса в зависимости от соотношения активов в пуле ликвидности. Эта модель обеспечивает непрерывную ликвидность и позволяет пользователям торговать активами напрямую с пулом, избегая необходимости сопоставления ордеров. x \cdot y = k — типичное уравнение, определяющее взаимосвязь между количеством токенов X и Y в пуле, где k — константа, поддерживающая постоянство функции.

Постоянно-функциональные маркет-мейкеры (CFMM) определяют обменный курс на основе математической функции, отражающей соотношение активов в пуле ликвидности. Эта функция, как правило, имеет вид x <i> y = k, где x и y представляют количество двух активов в пуле, а k — константа. Изменение цены одного актива приводит к соответствующему изменению количества другого актива, поддерживая постоянство произведения (k*). Таким образом, цена актива определяется как отношение количества одного актива к другому в пуле, и любое изменение спроса/предложения приводит к автоматической корректировке этого соотношения и, следовательно, к изменению цены.

В данной работе предложена каноническая параметризация CFMM (Constant Function Market Maker), позволяющая формализовать описание распределения ликвидности по ценовым уровням — так называемого Профиля Ликвидности. Эта параметризация основана на представлении функции CFMM в виде x \cdot y = k, где x и y — количества токенов в пуле ликвидности, а k — константа. Анализ полученной параметризации позволяет точно определить участки ценового диапазона, где Impermanent Loss (временная потеря) наиболее выражена, и оценить её величину в зависимости от изменения соотношения цен токенов. В частности, установлено, что наибольшая потеря возникает при значительном отклонении цены от первоначального соотношения, особенно в областях с низкой концентрацией ликвидности.

Оценка Непостоянной Потери: Применение Инструментов Опционного Ценообразования

Для расчета ожидаемых потерь от непостоянства (Impermanent Loss) для поставщиков ликвидности (LPs) используются общепринятые модели ценообразования опционов, в частности, модель Блэка-Шоулза и модель Башелье. Модель Блэка-Шоулза, основанная на геометрическом броуновском движении, предполагает логнормальное распределение цен активов, что позволяет оценить стоимость опциона на основе таких параметров, как цена базового актива, цена исполнения, время до истечения срока действия, безрисковая процентная ставка и волатильность. Модель Башелье, в свою очередь, предполагает линейное движение цен и использует нормальное распределение, что упрощает расчеты в определенных сценариях. Применение данных моделей к контексту AMM позволяет рассматривать предоставление ликвидности как продажу колл-опционов и пут-опционов, где Impermanent Loss является функцией разницы между ценой актива в пуле и на внешнем рынке, а также волатильности.

Имперманентная потеря (IL) может быть выражена как функция волатильности цены базового актива и состава пула ликвидности. В частности, величина IL напрямую зависит от степени колебаний цены актива — чем выше волатильность, тем больше потенциальная IL. Состав пула, определяемый соотношением активов, также влияет на IL, поскольку определяет, насколько сильно изменяется стоимость активов в пуле при изменении цены базового актива. Математически, IL можно представить как разницу между стоимостью активов, если бы они хранились вне пула, и фактической стоимостью активов, полученной после предоставления ликвидности, с учетом изменения цены и комиссий. IL = f(σ, w_1, w_2), где σ — волатильность, w_1 и w_2 — веса активов в пуле.

Для оценки волатильности, необходимой для расчета непостоянных потерь поставщиков ликвидности, используются данные в реальном времени, получаемые с бирж, таких как Deribit Exchange. Анализ данных показывает, что подразумеваемая волатильность (Implied Volatility) остается на консистентном уровне для торговых комиссий 5bp и 30bp при грубом разрешении, несмотря на различие в гранулярности базовых торговых интервалов (bucket granularity) на данной бирже. Это позволяет использовать данные Deribit для калибровки моделей расчета непостоянных потерь, даже учитывая различия в представлении данных.

Динамические Стратегии и Оптимальное Выведение Ликвидности

Для анализа динамики цен активов и позиций поставщиков ликвидности (LP) используется модель геометрического броуновского движения dB(t) = \mu B(t) dt + \sigma B(t) dW(t) , где μ — средняя доходность, σ — волатильность, а dW(t) — винеровский процесс. Данный подход позволяет рассматривать позиции LP как финансовые деривативы, оценивая их чувствительность к изменениям цен базовых активов и определяя соответствующие риски. По сути, применяя методы финансового моделирования, можно детально проанализировать поведение ликвидности и разработать стратегии, направленные на оптимизацию доходности и минимизацию потенциальных убытков, аналогично оценке опционов или других сложных финансовых инструментов.

Анализ времени последнего пересечения (Last Passage Time Analysis) позволил определить оптимальные моменты извлечения ликвидности для поставщиков, направленные на минимизацию потенциальных убытков. Исследование показало, что стратегия вывода средств должна учитывать динамику изменения цены актива и соотноситься с вероятностью достижения критических уровней. T_{exit} — оптимальное время выхода — определяется как момент, когда ожидаемые будущие убытки от удержания ликвидности превышают транзакционные издержки, связанные с ее извлечением. Применение данного метода позволяет поставщикам ликвидности более эффективно управлять рисками и максимизировать доходность, адаптируясь к изменяющимся условиям рынка и избегая значительных финансовых потерь.

Исследование показывает, что изменение комиссий в пулах ликвидности влияет, прежде всего, на распределение капитала, а не на общий экономический риск. В частности, анализ выявил, что пул с низкой комиссией в 5 базисных пунктов (bp) характеризуется высокой концентрацией ликвидности вблизи цены P0, что указывает на стремление поставщиков ликвидности к минимизации риска вблизи текущей цены актива. В противоположность этому, пул с комиссией в 30bp демонстрирует более равномерное распределение ликвидности, что свидетельствует о большей готовности к принятию риска ради потенциально более высокой доходности. Таким образом, комиссионные тарифы, по сути, служат механизмом, определяющим стратегию размещения капитала поставщиками ликвидности, а не фундаментально меняющим уровень экономического риска, связанного с предоставлением ликвидности.

Уточнение Модели: Комиссии и Перспективы Развития

Комиссии за транзакции, получаемые поставщиками ликвидности (LP), играют значимую роль в компенсации потерь от непостоянства (Impermanent Loss), оказывая непосредственное влияние на общую прибыльность предоставления ликвидности. Поскольку LP получают вознаграждение за каждую транзакцию, происходящую в пуле, эти комиссии могут частично или полностью нивелировать негативное воздействие непостоянства, особенно на волатильных рынках. Исследования показывают, что размер комиссий и частота транзакций напрямую коррелируют с прибыльностью LP; более высокие комиссии и большая торговая активность способствуют более эффективной компенсации потерь. Таким образом, комиссии за транзакции представляют собой ключевой механизм, позволяющий поставщикам ликвидности получать прибыль даже в условиях изменчивых цен активов, и являются важным фактором при оценке эффективности различных пулов ликвидности.

Применение многомасштабного анализа к данным об имплицитной волатильности позволило выявить закономерности и усовершенствовать прогнозы будущих ценовых движений. Исследование показало, что в пуле с низкой комиссией (5bp) наблюдается более детальная внутренняя структура при высоком разрешении анализа, однако при переходе к более грубому разрешению эта структура становится сопоставимой со структурой пула с более высокой комиссией (30bp). Данный факт указывает на то, что влияние размера комиссии на формирование волатильности проявляется в различных масштабах и требует учета при построении прогностических моделей, позволяя более точно оценивать риски и потенциальную прибыльность предоставления ликвидности.

Дальнейшие исследования направлены на создание более сложных моделей, учитывающих динамику ордербука и настроения рынка, наряду с прочими факторами, влияющими на ценообразование активов. Предполагается, что включение данных о потоке ордеров позволит точнее оценивать краткосрочные изменения ликвидности и прогнозировать проскальзывания, в то время как анализ рыночных настроений, получаемый из социальных сетей и новостных источников, может выявить иррациональные колебания цен и предсказать панические или эйфорические состояния участников. Сочетание этих факторов с традиционными экономическими показателями и параметрами волатильности позволит разработать инструменты для более точной оценки рисков и оптимизации стратегий торговли, а также для повышения эффективности автоматизированных систем управления активами.

Исследование, представленное в данной работе, демонстрирует глубокую связь между математическим аппаратом, используемым для оценки опционов, и анализом ликвидности в автоматизированных маркет-мейкерах (CFMM). Подобно тому, как необходимо учитывать временную стоимость денег при ценообразовании деривативов, в CFMM ключевым является понимание влияния волатильности и времени удержания позиции на подверженность непостоянным потерям. Как однажды заметил Ричард Фейнман: «Если вы не можете объяснить что-то простыми словами, значит, вы сами этого не понимаете». Данное исследование, используя концепции последнего времени прохождения, стремится к подобной ясности в сложной области обеспечения ликвидности, представляя математическую основу для оптимизации стратегий вывода средств и оценки рисков, связанных с обеспечением ликвидности в CFMM.

Что дальше?

Представленная работа, как и любая попытка описать динамику сложных систем, лишь намекает на истинную природу рыночной ликвидности. Математический аппарат, выстроенный вокруг функций постоянного произведения, позволяет, несомненно, более точно оценивать риски и оптимизировать стратегии, но он же — всего лишь приближение. Любая цена, вычисленная даже самым совершенным алгоритмом, есть лишь вероятность, и она может быть поглощена силой непредсказуемости. Особое внимание следует уделить исследованию влияния временных рядов волатильности, поскольку предложенные модели, как показывает практика, особенно чувствительны к экстремальным событиям.

Более глубокий анализ требует отказа от упрощающих предположений о постоянстве функций и линейности взаимосвязей. Необходимо исследовать нелинейные модели, учитывающие эффекты сетевых взаимодействий и поведенческие факторы участников рынка. Разработка робастных стратегий, устойчивых к изменениям в структуре ликвидности и внешним воздействиям, представляется задачей, которая потребует значительных усилий и, возможно, совершенно новых подходов к моделированию.

Чёрные дыры не спорят; они поглощают. Так и рынок — он не поддаётся объяснениям, он просто существует. Представленная работа — это лишь один из способов взглянуть на его внутреннюю структуру, но окончательный ответ, вероятно, навсегда останется за горизонтом событий.

Оригинал статьи: https://arxiv.org/pdf/2603.01344.pdf

Связаться с автором: https://www.linkedin.com/in/avetisyan/

Смотрите также:

2026-03-03 13:44