Финансовые пирамиды и устойчивые инвестиции: математика долгосрочного роста

Автор: Денис Аветисян

В статье представлена математическая модель, позволяющая понять, какие факторы определяют стабильность инвестиционных схем и когда они неизбежно обречены на крах.

"Покупай на слухах, продавай на новостях". А потом сиди с акциями никому не известной биотех-компании. Здесь мы про скучный, но рабочий фундаментал.

Бесплатный Телеграм канал

Динамика инвестиций, подобная схеме Понци, демонстрирует, что при снижении темпов демографического роста [latex]n_{t}[/latex] эволюция капитала зависит от периода блокировки инвестиций [latex]T[/latex]: системы, существующие в течение семи или более периодов (черные линии), неизбежно рушатся, в то время как системы с периодом блокировки не более шести (красные линии) способны к выживанию при начальных условиях [latex]K_{0}^{pro}=100[/latex], [latex]I_{0}=3[/latex], [latex]N_{0}=10[/latex] и фиксированных ставках [latex]n=10\%[/latex], [latex]r=5.2\%[/latex] и [latex]i=3\%[/latex]. — Динамика инвестиций, подобная схеме Понци, демонстрирует, что при снижении темпов демографического роста $n_{t}$ эволюция капитала зависит от периода блокировки инвестиций $T$ : системы, существующие в течение семи или более периодов (черные линии), неизбежно рушатся, в то время как системы с периодом блокировки не более шести (красные линии) способны к выживанию при начальных условиях $K_{0}^{pro}=100$ , $I_{0}=3$ , $N_{0}=10$ и фиксированных ставках $n=10\%$ , $r=5.2\%$ и $i=3\%$ .

Исследование посвящено анализу динамики капитала, используя модели геометрического, квази-логистического роста и SIR-модель для оценки устойчивости инвестиционных систем.

Несмотря на кажущуюся простоту принципов инвестирования, границы между финансовой пирамидой и устойчивой схемой часто оказываются размытыми. В статье ‘From Ponzi Schemes to Benign Investment Dynamics: modelling Collapse, Stability, and a Path to Sustainability’ предложен математический анализ динамики капитала в различных инвестиционных моделях — геометрической, квази-логистической и основанной на модели SIR. Показано, что при определенных параметрах квази-логистическая и SIR-модели позволяют построить устойчивые инвестиционные схемы с конечным горизонтом, избегая признаков финансовой пирамиды, в то время как геометрическая модель неизбежно ведет к коллапсу. Какие факторы определяют стабильность инвестиционных систем и возможно ли построение действительно устойчивых моделей, не зависящих от постоянного притока новых инвесторов?

Иллюзия Роста: Распознавание Неустойчивых Схем

Многие инвестиционные модели функционируют, опираясь на непрерывный приток новых участников для поддержания уровня доходности. Эта зависимость создает внутреннюю хрупкость, поскольку прекращение притока новых инвесторов немедленно ставит под угрозу способность модели генерировать прибыль и выполнять свои обязательства. По сути, успех таких схем становится заложником постоянного расширения базы участников, а не реального создания стоимости или роста активов. В результате, даже кажущиеся легитимными проекты могут оказаться крайне уязвимыми к изменениям на рынке или потере доверия со стороны инвесторов, что подчеркивает важность анализа не только текущей доходности, но и устойчивости лежащей в основе модели роста.

Подобно схеме Понци, многие инвестиционные модели, кажущиеся вполне законными, зависят от постоянного притока новых участников для поддержания обещанной доходности. Вместо создания реальной ценности и прибыли от операционной деятельности, эти системы перераспределяют средства от новых инвесторов старым, маскируя отсутствие органического роста. Эта зависимость создает иллюзию прибыльности, которая может сохраняться до тех пор, пока поток новых вкладчиков не иссякнет, что приводит к неизбежному краху. В отличие от устойчивых инвестиций, основанных на реальном производстве или предоставлении услуг, подобные схемы демонстрируют признаки финансовой пирамиды, где прибыль выплачивается не за счет создания ценности, а за счет привлечения новых средств.

Понимание лежащей в основе модели роста имеет решающее значение для разграничения подлинного создания ценности и неустойчивых практик. Многие инвестиционные стратегии кажутся прибыльными, однако их успех напрямую зависит от постоянного притока новых участников, что создает скрытую хрупкость. Анализ того, как именно планируется масштабирование и поддержание роста, позволяет выявить, основано ли это на реальном увеличении производительности, инновациях или же исключительно на привлечении средств от новых инвесторов. В случае, если основная движущая сила роста — это лишь приток капитала, а не создание добавленной стоимости, возникает риск, аналогичный схеме Понци, где выплаты текущим участникам формируются за счет новых вложений. Тщательная оценка модели роста позволяет инвесторам и аналитикам отличить долгосрочные, устойчивые предприятия от краткосрочных, спекулятивных схем, основанных на иллюзорном процветании.

Моделирование эволюции капитала в инвестиционной системе с нестандартной SIR-демографией и отложенным восстановлением показывает, что при различных параметрах, включая задержку начала восстановления [latex]T_0[/latex], системы могут демонстрировать как стабильный рост, так и коллапс типа — Моделирование эволюции капитала в инвестиционной системе с нестандартной SIR-демографией и отложенным восстановлением показывает, что при различных параметрах, включая задержку начала восстановления $T_0$ , системы могут демонстрировать как стабильный рост, так и коллапс типа «Понци», при этом прекращение работы системы фиксируется при снижении числа участников ниже единицы.

Бюджет Системы: Математическая Модель Капитала

Уравнение бюджета представляет собой математическую модель, описывающую движение капитала в финансовой системе. Оно включает в себя четыре основных компонента: первоначальные инвестиции (начальный капитал), доходность (процент возврата от инвестиций), приток новых инвесторов и выкуп инвестиций (погашение). Формально, это можно представить как: $Capital = Initial\,Investment + New\,Investors - Redemptions + (Initial\,Investment * Rate\,of\,Return)$ . Каждый из этих факторов оказывает прямое влияние на общий объем капитала и, следовательно, на устойчивость и развитие финансовой схемы. Количественная оценка этих параметров позволяет провести анализ чувствительности и прогнозирование будущих изменений в капитале.

Уравнение бюджета позволяет систематически анализировать взаимодействие факторов, определяющих долгосрочную жизнеспособность инвестиционной схемы. В частности, это достигается путем количественной оценки влияния начальных инвестиций, ставки доходности, притока новых инвесторов и вывода средств (погашений) на общий капитал. Анализ позволяет выявить, как изменения каждого из этих параметров влияют на динамику капитала во времени и определить условия, при которых инвестиционная схема способна к устойчивому росту или, напротив, подвержена риску коллапса. Математически, это представляется в виде $Capital(t+1) = Capital(t) + NewInvestors(t) + Return(t) - Redemptions(t)$ , где Capital(t) — капитал на момент времени t, NewInvestors(t) — приток новых инвесторов, Return(t) — доходность, а Redemptions(t) — погашения.

Манипулирование переменными в рамках бюджетного уравнения позволяет определить условия, приводящие к росту или коллапсу инвестиционной схемы. Увеличение коэффициента доходности $r$ при прочих равных, например, ведет к экспоненциальному росту капитала. Напротив, превышение скорости вывода средств инвесторами $R$ над притоком новых инвестиций $I$ и доходностью $r$ неизбежно приведет к сокращению капитала и, в конечном итоге, к краху системы. Анализ чувствительности уравнения к изменениям отдельных параметров позволяет установить критические значения, определяющие стабильность и устойчивость инвестиционной модели.

Моделирование инвестиционного сценария с использованием параметров начального капитала, процентных ставок, количества инвесторов и периода блокировки [latex]T=1[/latex] демонстрирует три качественно различных исхода: коллапс капитала (красный свет), получение прибыли инвесторами при одновременных убытках инициатора (желтый свет) и общий прирост капитала для всех участников (зеленый свет). — Моделирование инвестиционного сценария с использованием параметров начального капитала, процентных ставок, количества инвесторов и периода блокировки $T=1$ демонстрирует три качественно различных исхода: коллапс капитала (красный свет), получение прибыли инвесторами при одновременных убытках инициатора (желтый свет) и общий прирост капитала для всех участников (зеленый свет).

Динамика Роста: От Экспоненты к Устойчивости

Простые модели геометрического роста, характеризующиеся темпом роста в виде 1+n, демонстрируют неустойчивость при отсутствии постоянного внешнего притока ресурсов. Данные модели предполагают экспоненциальное увеличение, которое требует непрерывного увеличения инвестиций или новых участников для поддержания темпа роста. В реальности, при ограниченности ресурсов или отсутствии постоянного притока капитала, экспоненциальный рост быстро приводит к истощению ресурсов и, как следствие, к стагнации или снижению системы. Математически, это выражается в том, что для поддержания роста необходимо постоянное увеличение внешнего вклада, компенсирующего неизбежное замедление, связанное с ограниченностью ресурсов или насыщением рынка.

Более реалистичные модели квази-логистического роста и SIR (Susceptible-Infected-Recovered) демонстрируют влияние убывающей отдачи и насыщения инвесторов на устойчивость схемы. Модель SIR показывает, что эффективная скорость роста снижается со временем по формуле $β / (1 + I₀/S₀ * (1+β)ᵗ)$ , где β — скорость распространения, $I₀$ — начальное количество инвесторов, $S₀$ — максимальное количество потенциальных инвесторов, а $t$ — время. Уменьшение скорости роста связано с тем, что по мере увеличения числа инвесторов (I) доступное количество потенциальных инвесторов (S) сокращается, что приводит к замедлению темпов привлечения новых участников и, как следствие, к снижению общей скорости роста схемы.

Для обеспечения устойчивости схемы необходимо сбалансировать привлечение новых инвесторов и создание внутренней ценности. Критической точкой, определяющей переход от экспоненциального роста к насыщению, является момент времени $t_{TP} = log((N/N_0)-1) / log(1+n)$ , где $N$ — текущее число инвесторов, $N_0$ — начальное число инвесторов, а $n$ — коэффициент роста. Превышение этой точки указывает на необходимость увеличения внутренней ценности для поддержания роста, в то время как недостаток может привести к стагнации и снижению числа инвесторов. Эффективное управление этими факторами является ключевым для долгосрочной жизнеспособности схемы.

Модели квази-логистического роста и SIR демонстрируют снижение темпов роста, при этом квази-логистическая модель [latex]n_t[/latex] характеризуется точкой перегиба [latex]T_P[/latex] и высотой [latex]1/2n[/latex], зависящими от значения [latex]n[/latex], а SIR-модели с параметрами [latex]\beta = 0.3 \dots 0.01[/latex] и [latex]\gamma = 0.02[/latex] показывают аналогичное снижение, причем при [latex]\gamma = 0[/latex] их кривые совпадают с кривыми квази-логистической модели. — Модели квази-логистического роста и SIR демонстрируют снижение темпов роста, при этом квази-логистическая модель $n_t$ характеризуется точкой перегиба $T_P$ и высотой $1/2n$ , зависящими от значения $n$ , а SIR-модели с параметрами $\beta = 0.3 \dots 0.01$ и $\gamma = 0.02$ показывают аналогичное снижение, причем при $\gamma = 0$ их кривые совпадают с кривыми квази-логистической модели.

За Пределами Пузыря: Истинная Устойчивость Систем

Истинная устойчивость инвестиционной схемы определяется её способностью генерировать внутреннюю ценность, а не зависеть от постоянного притока новых инвесторов. В отличие от схем, подверженных формированию «пузырей», где завышенные оценки неизбежно приводят к краху, устойчивые системы демонстрируют свойство возврата к стабильному равновесию — так называемое «среднее возвращение» μ. Это означает, что, несмотря на краткосрочные колебания, стоимость актива стремится к фундаментальной, объективно обусловленной величине. Такой механизм саморегуляции обеспечивает долгосрочную жизнеспособность и предсказуемость, делая схему менее уязвимой к внешним шокам и спекулятивным атакам.

В отличие от устойчивых инвестиционных схем, функционирование “пузырей цен на активы” характеризуется искусственным раздуванием стоимости, не подкрепленным реальной внутренней ценностью. Данное явление приводит к экспоненциальному росту, основанному исключительно на вере в дальнейшее увеличение цены, а не на фундаментальных показателях. В конечном итоге, подобная конструкция обречена на крах, поскольку не может поддерживаться в долгосрочной перспективе. Когда поток новых инвесторов иссякает, или когда становится очевидной несостоятельность базовых активов, происходит резкая коррекция, приводящая к значительному снижению стоимости и, зачастую, к полному обрушению “пузыря”. Этот процесс демонстрирует нестабильность и недолговечность схем, основанных на спекуляциях, в противоположность устойчивым инвестициям, генерирующим реальную ценность.

Анализ инвестиционных схем показывает, что критически важным фактором их жизнеспособности является период блокировки средств (T). Этот период, в течение которого инвесторы не могут вывести свои активы, позволяет оценить, насколько схема способна генерировать внутреннюю ценность, а не полагаться исключительно на приток новых средств. Более длительный период блокировки (T) может свидетельствовать о большей уверенности создателей схемы в ее долгосрочной устойчивости и способности к самообеспечению, поскольку это снижает риск быстрого обвала, характерного для “пузырей” на рынке активов. Исследование демонстрирует, что схемы с оптимальным периодом блокировки, позволяющим сформировать устойчивую внутреннюю ценность, демонстрируют тенденцию к возвращению к стабильному равновесию — свойству, известному как “среднее возвращение”, что делает их более надежными и предсказуемыми для инвесторов.

Результаты моделирования демонстрируют возможность получения стабильной прибыли в инвестиционной системе при оптимальных параметрах, однако высокая чувствительность к изменениям этих параметров требует тщательной калибровки для каждого запуска.

Исследование динамики инвестиционных схем неизбежно приводит к осознанию их временной природы. Как и любая сложная система, они подвержены старению и трансформации. Игорь Тамм однажды сказал: «В физике нет ничего абсолютного, все относительно». Эта мысль находит отражение в анализе геометрических, квазилогистических и SIR-моделей, представленных в работе. Устойчивость или коллапс системы напрямую зависят от параметров, определяющих её эволюцию во времени. Работа демонстрирует, что даже кажущиеся стабильными схемы несут в себе потенциал для деградации, а понимание этих процессов позволяет выработать стратегии для обеспечения долгосрочной устойчивости инвестиций. Таким образом, исследование подчеркивает важность учета временного аспекта при оценке и проектировании финансовых систем.

Куда Ведут Эти Схемы?

Представленные модели, анализирующие динамику капитала от геометрической прогрессии до квази-логистического роста и SIR-подобных систем, лишь обнажают сложность поддержания устойчивости. Любая абстракция, даже математическая, несёт груз упрощений, игнорируя неявные факторы, формирующие реальное поведение инвесторов. Попытки выявить критические параметры, определяющие коллапс или жизнеспособность, неизбежно сталкиваются с проблемой неполноты данных и непредсказуемости человеческих действий. В конечном счёте, любые «устойчивые» системы — это не статичные конструкции, а лишь замедленные процессы деградации.

Перспективы дальнейших исследований лежат не в создании идеальных прогностических моделей, а в понимании механизмов адаптации и изменения самих систем. Необходимо сместить фокус с поиска «устойчивости» как состояния равновесия на изучение способности к эволюции и реструктуризации. Важным направлением представляется анализ влияния демографических факторов и поведенческих искажений на долгосрочную жизнеспособность инвестиционных схем. Все системы стареют — вопрос лишь в том, делают ли они это достойно.

Время — не метрика, а среда, в которой существуют системы. Поэтому, вместо того чтобы стремиться к предсказанию будущего, следует сосредоточиться на разработке механизмов, позволяющих системам более гибко реагировать на неизбежные изменения и, возможно, даже использовать их в своих интересах. Устойчивость — это не цель, а свойство, возникающее как побочный эффект от постоянной адаптации.

Оригинал статьи: https://arxiv.org/pdf/2602.18772.pdf

Связаться с автором: https://www.linkedin.com/in/avetisyan/

Смотрите также:

2026-02-24 21:44