Когда спектральные градиенты улучшают обучение нейросетей?

Автор: Денис Аветисян

Новое исследование показывает, что эффективность алгоритмов оптимизации зависит от ранга слоев нейронной сети, проливая свет на принципы адаптивного обучения.

"Покупай на слухах, продавай на новостях". А потом сиди с акциями никому не известной биотех-компании. Здесь мы про скучный, но рабочий фундаментал.

Бесплатный Телеграм канал

При разреженной регрессии с активациями SwiGLU, методы градиентного спуска (GD) и спектрального градиентного спуска (SpecGD) демонстрируют схожее поведение при размере пакета $n=512$, однако при значительно больших стабильных рангах скрытых слоёв ($n=8196$) их траектории практически совпадают, при этом стабильный ранг первых двух слоёв остаётся близким к начальному, а третий слой быстро снижается до значения около 3, что происходит в конечном слое скалярного вывода, где спектральное обновление не применяется.

Работа демонстрирует, что спектральные обновления выгодны при низком стабильном ранге слоев, а стандартные евклидовы обновления — при высоком, что подтверждается теоретически и эмпирически.

Несмотря на успехи стандартного стохастического градиентного спуска, обучение глубоких нейронных сетей и трансформеров зачастую требует адаптивных стратегий оптимизации. В работе ‘When do spectral gradient updates help in deep learning?’ исследуется, при каких условиях спектральные методы обновления градиента, такие как Muon, превосходят традиционные подходы. Авторы демонстрируют, что преимущество спектральных обновлений связано с низкой стабильной рангом активаций слоев, в то время как градиентный спуск эффективнее работает с активациями более высокого ранга. Позволит ли это теоретическое обоснование разработать более эффективные алгоритмы обучения, учитывающие структуру активаций и кривизну пространства параметров?

Высокоразмерное Пространство Параметров и Препятствия Оптимизации

Обучение масштабных нейронных сетей традиционно опирается на метод градиентного спуска, однако увеличение размерности пространства параметров создает существенные препятствия для эффективной оптимизации. В высокоразмерных пространствах стандартные алгоритмы градиентного спуска сталкиваются с проблемами, такими как медленная сходимость и повышенная чувствительность к шуму. Это связано с тем, что ландшафт функции потерь становится более сложным и изрезанным, с множеством локальных минимумов и седловых точек. Увеличение размерности также приводит к тому, что градиенты становятся более разреженными, что затрудняет определение направления наиболее быстрого спуска. В результате, оптимизация становится вычислительно затратной и требует разработки новых подходов, способных эффективно справляться с этими сложностями, особенно при обучении моделей с миллиардами параметров.

Ядром сложностей оптимизации в обучении больших нейронных сетей является высокая размерность пространства параметров. Для оценки этой сложности, как показатель эффективной размерности градиента, используется ядерный ранг ($NuclearRank$). Этот показатель отражает количество существенно отличных от нуля сингулярных чисел матрицы градиента и, следовательно, указывает на количество независимых направлений, в которых необходимо корректировать параметры. Чем выше ядерный ранг, тем сложнее процесс оптимизации, так как требуется больше вычислительных ресурсов и времени для сходимости. Изменения ядерного ранга в процессе обучения позволяют диагностировать потенциальные узкие места и выбирать наиболее эффективные стратегии оптимизации, например, переходя от стандартного евклидова градиентного спуска к спектральным обновлениям, если ядерный ранг превосходит стабильный ранг градиента.

Исследование ядерного ранга градиента в процессе обучения нейронных сетей выявило важную закономерность, позволяющую диагностировать и устранять узкие места оптимизации. Было установлено, что ядерный ранг градиента масштабируется как $O(d)$ уже после нескольких шагов градиентного спуска, что свидетельствует о его прямой зависимости от размерности пространства параметров. Этот феномен указывает на то, что по мере увеличения размерности задачи, эффективная размерность градиента также растет, что усложняет процесс оптимизации и может приводить к замедлению сходимости. Понимание динамики изменения ядерного ранга позволяет выявлять ситуации, когда стандартный евклидов градиентный спуск становится неэффективным, и применять альтернативные методы, такие как спектральные обновления, для ускорения обучения.

В процессе обучения больших нейронных сетей обнаружено, что масштабирование ядерного ранга градиента относительно стабильного ранга, превышающее единицу, создает специфические условия для оптимизации. В таких случаях стандартный алгоритм градиентного спуска, основанный на евклидовом пространстве, становится менее эффективным. Это связано с тем, что высокая размерность пространства параметров приводит к тому, что лишь небольшое количество направлений в градиенте вносят существенный вклад в процесс обучения. В этих условиях, методы, использующие спектральные обновления, демонстрируют превосходство, поскольку они способны более эффективно учитывать структуру и взаимосвязи между параметрами, что позволяет ускорить сходимость и улучшить качество обучения модели. Таким образом, соотношение между ядерным и стабильным рангом градиента выступает важным индикатором для выбора оптимальной стратегии оптимизации в задачах машинного обучения.

Наблюдаемое быстрое увеличение ядерного ранга градиента с увеличением числа шагов градиентного спуска и размерности признаков указывает на возрастающую эффективность спектральных обновлений при работе с более крупными признаковыми пространствами как в реалистичных, так и в моделях «учитель-ученик».

Нормализация и Ландшафт Стабильного Ранга

Широко используемые методы нормализации, такие как RMSNorm, предназначены для стабилизации процесса обучения глубоких нейронных сетей. Однако, влияние этих методов на ядерный ранг ($NuclearRank$) градиентов остается недостаточно изученным. Ядерный ранг, являясь мерой сложности матрицы, может служить индикатором уязвимости оптимизации. Несмотря на эмпирическую эффективность RMSNorm в предотвращении проблем, связанных с неустойчивыми градиентами, теоретическое понимание того, как RMSNorm изменяет ядерный ранг градиентов и, следовательно, влияет на свойства оптимизационного ландшафта, требует дальнейших исследований. Понимание этой взаимосвязи может привести к разработке более эффективных методов нормализации и оптимизации.

Лемма 2.10 устанавливает ограничение на спектральную норму RMSNorm, что напрямую влияет на StableRank пост-активационных матриц. В частности, доказано, что спектральная норма RMSNorm ограничена сверху константой, пропорциональной $1/\sqrt{d}$, где $d$ — размерность входных данных. Это ограничение спектральной нормы, в свою очередь, приводит к ограничению наибольшего сингулярного числа пост-активационных матриц, что является ключевым фактором при определении StableRank. Таким образом, RMSNorm эффективно сжимает спектр пост-активационных матриц, уменьшая их StableRank и способствуя более стабильному обучению.

Лемма 2.5 предоставляет более строгие оценки для $StableRank$ пост-активационных матриц, в частности, внутри блоков Transformer. Полученные границы демонстрируют, что $StableRank$ остается ограниченным константой, что открывает возможность применения спектральных обновлений. Это означает, что ранг этих матриц не увеличивается неограниченно в процессе обучения, что потенциально позволяет использовать методы оптимизации, основанные на аппроксимации матриц низкого ранга, для повышения эффективности и стабильности обучения моделей Transformer. Ограниченность $StableRank$ является ключевым фактором для улучшения обусловленности оптимизационного ландшафта и ускорения сходимости.

Контроль над $StableRank$ посредством нормализации является ключевым шагом к улучшению обусловленности оптимизационного ландшафта. $StableRank$, определяемый как максимальный ранг матрицы, который может быть приближен с заданной точностью, напрямую влияет на сложность оптимизации. Высокий $StableRank$ указывает на необходимость большего числа параметров для эффективного представления данных, что увеличивает вычислительную сложность и может привести к проблемам с обучением. Нормализация, такая как RMSNorm, позволяет ограничить $StableRank$ матриц активаций после нормализации, обеспечивая более гладкий и стабильный процесс обучения. Ограничение $StableRank$ способствует лучшему обусловливанию оптимизационного ландшафта, что позволяет использовать более агрессивные шаги обучения и быстрее сходиться к оптимальному решению.

Стабильность ранга RMS-нормализованных активаций Arms,Amlprms и Afinalrms указывает на согласованность представления данных в сети.

Динамика Ядерного Ранга в Процессе Градиентного Спуска

Теорема 3.2 устанавливает, что ядерный ранг ($NuclearRank$) градиента остаётся порядка $d$ на протяжении значительного числа итераций процесса градиентного спуска. Это свойство обеспечивает критическую гарантию стабильности алгоритма оптимизации. Сохранение низкого ядерного ранга градиента указывает на то, что информация о направлении спуска концентрируется в относительно небольшом подпространстве, что упрощает процесс поиска минимума и предотвращает чрезмерные колебания. Таким образом, данное свойство является важным условием для сходимости и эффективности алгоритма, особенно в задачах высокой размерности.

Теоремы 3.9 и Лемма 3.5 показывают, что после единственного шага градиентного спуска, ядерный ранг ($NuclearRank$) матрицы масштабируется линейно с размерностью пространства. Это означает, что в задачах высокой размерности ядерный ранг может быстро увеличиваться, что потенциально замедляет процесс оптимизации и требует больше вычислительных ресурсов для обработки матрицы. Увеличение $NuclearRank$ после каждого шага градиентного спуска может приводить к потере информации о структуре матрицы и снижению эффективности алгоритма оптимизации.

Теорема 3.6 подтверждает, что ядерный ранг градиента сохраняется на высоком уровне в течение значительного числа итераций при использовании метода градиентного спуска. В частности, доказано, что в течение многих итераций, ядерный ранг остается порядка $d$, где $d$ — размерность пространства. Это означает, что низкоранговая структура градиента не возникает быстро, и оптимизация может быть затруднена, особенно в задачах высокой размерности, поскольку алгоритм не может эффективно использовать преимущества низкоранговой структуры для ускорения сходимости. Сохранение высокого ядерного ранга указывает на то, что градиент остается сложным и многомерным на протяжении значительной части процесса оптимизации.

Экспериментальные результаты и теоретический анализ показывают, что когда отношение ядерного ранга (Nuclear Rank) к стабильному рангу (Stable Rank) превышает единицу, методы спектрального обновления ($spectral\ updates$) демонстрируют превосходящую эффективность по сравнению с методом Евклидова спуска ($Euclidean\ descent$). Данное наблюдение особенно актуально в задачах оптимизации с высокой размерностью, где сохранение информации о структуре матрицы имеет решающее значение. Превосходство спектральных обновлений связано с их способностью более эффективно использовать информацию о кривизне целевой функции, что приводит к более быстрой сходимости и улучшению качества решения в условиях, когда ядерный ранг доминирует над стабильным рангом.

Анализ ранга ядерного градиента показывает, что ранг после первого шага градиентного спуска линейно увеличивается с ростом размерности признаков, подтверждая теоретическое предсказание о возрастающей активации условия nr(∇Wℒ(W1)) ≫ st(A) при увеличении размерности.

Теоретические Основы: «Шипованная» Модель и её Влияние

В рамках исследования ковариационной матрицы предложена “шипованная” модель (spiked model), служащая основой для анализа StableRank матриц, полученных после активации нейронных сетей. Данная модель предполагает наличие слабого сигнала низкого ранга, встроенного в случайную матрицу большого размера. Такой подход позволяет эффективно описывать структуру активаций в глубоких нейронных сетях, где доминируют случайные флуктуации, но при этом присутствует некоторая упорядоченность, определяемая обучением. Использование “шипованной” модели дает возможность формализовать условия, при которых наблюдаются определенные динамики NuclearRank, что, в свою очередь, обеспечивает теоретическую базу для понимания и улучшения процессов оптимизации в нейронных сетях, особенно в ситуациях, когда отношение Nuclear Rank к Stable Rank превышает единицу.

Структура активаций в нейронных сетях часто демонстрирует определенную закономерность, которую эффективно описывает так называемая “шиповая модель”. Данная модель предполагает наличие сигнала низкой размерности, встроенного в случайную матрицу. Подобный подход позволяет представить активации не как полностью случайные, а как комбинацию детерминированного сигнала и случайного шума. Это особенно актуально для больших нейронных сетей, где сигнал, соответствующий важным признакам, может быть выделен на фоне случайных флуктуаций. Исследования показывают, что данная модель адекватно отражает внутреннюю структуру данных, обрабатываемых сетью, и позволяет более точно анализировать ее поведение, в частности, при оптимизации и обучении. Понимание этой структуры открывает возможности для улучшения устойчивости и эффективности процесса обучения, а также для разработки более эффективных архитектур нейронных сетей.

Использование предложенной «колючей» модели позволило установить достаточные условия для наблюдаемой динамики NuclearRank — ключевого показателя ранга матрицы активаций. Данные условия, основанные на анализе взаимодействия низкоранговой сигнатуры и случайной матрицы, подтверждают ранее полученные результаты и обеспечивают теоретическую базу для понимания поведения алгоритмов обучения. В частности, доказано, что при определенных параметрах модели, наблюдаемая динамика NuclearRank соответствует предсказанным теоретическим значениям, что указывает на корректность используемых методов анализа и обосновывает возможность прогнозирования поведения нейронных сетей в условиях ограниченной информации. Это позволяет исследователям более эффективно разрабатывать стратегии оптимизации и улучшать устойчивость обучения нейронных сетей.

Понимание условий, при которых отношение ядерного ранга к стабильному рангу превышает единицу, имеет решающее значение для проектирования оптимизационных ландшафтов с улучшенными свойствами. В ситуациях, когда ядерный ранг значительно больше стабильного, стандартные методы оптимизации могут столкнуться с трудностями, приводящими к замедлению обучения или застреванию в локальных минимумах. Исследование этих условий позволяет выявлять критические параметры, влияющие на устойчивость и эффективность обучения нейронных сетей. На основе этого анализа возможно разработать стратегии инициализации весов, методы регуляризации или архитектуры сетей, способствующие формированию более гладких и хорошо обусловленных оптимизационных пространств, что в конечном итоге приводит к повышению скорости сходимости и улучшению обобщающей способности моделей. Таким образом, осознанное управление соотношением между ядерным и стабильным рангом представляет собой перспективный путь к созданию более эффективных и надежных алгоритмов машинного обучения.

В процессе обучения стабильный ранг матрицы вложений после активации и матрицы индикаторов токенов оставался стабильным, что подтверждает эффективность предложенного подхода, описанного в разделе 2.2.1.

Исследование показывает, что эффективность спектральных обновлений тесно связана со стабильным рангом слоев нейронной сети. Когда этот ранг низок, спектральные обновления демонстрируют преимущество, в то время как стандартные евклидовы обновления оказываются более эффективными при высоких рангах. Это подтверждает теоретическое обоснование адаптивных стратегий оптимизации. Как заметил Бертран Рассел: «Всё должно быть максимально простым, насколько это возможно, но не проще». В данном контексте, адаптивные стратегии — это попытка найти оптимальный баланс между сложностью и эффективностью, позволяя алгоритму приспосабливаться к изменяющимся условиям и характеристикам слоев, что, по сути, является признанием несовершенства единого подхода ко всем задачам.

Куда двигаться дальше?

Представленная работа, словно рентгеновский снимок, выявляет зависимость эффективности оптимизационных стратегий от внутреннего устройства слоев нейронных сетей — их стабильного ранга. Это не просто констатация факта, а приглашение к реверс-инжинирингу самого процесса обучения. Понимание, когда градиентный спуск “спотыкается” о низкий ранг, открывает возможность для конструирования алгоритмов, способных обходить эти ограничения, словно взлом системы изнутри.

Остаётся открытым вопрос: является ли низкий стабильный ранг симптомом более глубокой патологии — неэффективной параметризации, избыточной сложности или, возможно, фундаментальным свойством представления данных в этих слоях? Поиск ответов потребует отхода от упрощённых моделей и перехода к анализу реальных, обученных сетей, с их хаотичной структурой и нелинейными зависимостями.

Предложенные идеи, несомненно, найдут применение в адаптивных оптимизаторах, но истинный прорыв может произойти, когда удастся создать алгоритм, способный динамически определять ранг активаций и переключаться между различными стратегиями обновления весов — своего рода самонастраивающийся “эксплойт”, оптимизирующий обучение на основе внутренней архитектуры сети. В конечном итоге, задача состоит не в том, чтобы найти лучший оптимизатор, а в том, чтобы понять, как информация кодируется и обрабатывается в этих сложных системах.

Оригинал статьи: https://arxiv.org/pdf/2512.04299.pdf

Связаться с автором: https://www.linkedin.com/in/avetisyan/

Смотрите также:

2025-12-07 05:24