Квантовый скачок в ценообразовании опционов

Автор: Денис Аветисян

Новый подход к оценке финансовых деривативов использует принципы квантовой механики для преодоления ограничений классической модели Блэка-Шоулза.

"Покупай на слухах, продавай на новостях". А потом сиди с акциями никому не известной биотех-компании. Здесь мы про скучный, но рабочий фундаментал.

Бесплатный Телеграм канал

В рамках исследования финансовой модели ценообразования опционов показано, что изменение параметра β в модифицированной модели, при [latex]\beta = 0[/latex], приводит к нормальному распределению, лежащему в основе модели Блэка-Шоулза, в то время как при других значениях параметра, при заданных [latex]r = 10\%[/latex], [latex]S_0 = 20[/latex], [latex]K = 20[/latex], [latex]T = 1 \text{ год}[/latex] и [latex]\sigma = 25\%[/latex], наблюдается изменение цены колл-опциона. — В рамках исследования финансовой модели ценообразования опционов показано, что изменение параметра β в модифицированной модели, при $\beta = 0$ , приводит к нормальному распределению, лежащему в основе модели Блэка-Шоулза, в то время как при других значениях параметра, при заданных $r = 10\%$ , $S_0 = 20$ , $K = 20$ , $T = 1 \text{ год}$ и $\sigma = 25\%$ , наблюдается изменение цены колл-опциона.

Исследование предлагает модификацию стандартной модели Блэка-Шоулза с применением квантовых принципов для более точного моделирования стохастической динамики рынка и вероятностных распределений.

Несмотря на широкое распространение, классическая модель Блэка-Шоулза имеет ограничения в описании сложных рыночных явлений. В работе «Option Pricing beyond Black-Scholes Model:Quantum Mechanics Approach» предложен новый подход к ценообразованию опционов, основанный на аналогии между стохастической динамикой и квантовым гармоническим осциллятором. Данная методика позволяет учитывать различные скрытые рыночные силы и модифицировать стандартную модель, преодолевая допущение о нормальном распределении вероятностей. Открывает ли это путь к более адекватной оценке рисков и формированию эффективных инвестиционных стратегий в условиях непредсказуемости?

Ограничения Стандартной Модели Блэка-Шоулза

Модель Блэка-Шоулза, являющаяся краеугольным камнем финансового моделирования, основывается на предположении о нормальном распределении доходностей активов и постоянстве волатильности. Однако, реальные рыночные данные часто демонстрируют отклонения от этих условий. Доходности, как правило, характеризуются “тяжелыми хвостами” и асимметрией, что означает более высокую вероятность экстремальных событий, не учитываемых в гауссовском распределении. Кроме того, волатильность — мера колебания цены актива — в действительности не является постоянной, а меняется во времени, подвергаясь кластеризации и проявляя зависимость от различных факторов. Эти несоответствия приводят к тому, что модель, хотя и обеспечивает удобную отправную точку для оценки опционов, зачастую неточно отражает динамику рынка и может приводить к существенным ошибкам в ценообразовании, особенно в периоды повышенной турбулентности или при оценке опционов с длительным сроком действия. σ — параметр, отражающий волатильность, является ключевым в модели, и его неточное определение может значительно повлиять на результат.

Предположения, лежащие в основе модели Блэка-Шоулза, часто приводят к неверной оценке опционов, особенно тех, которые чувствительны к экстремальным событиям или скачкообразным изменениям доходности. Модель предполагает нормальное распределение доходности активов, что не соответствует реалиям рынка, где часто наблюдаются «толстые хвосты» — более высокая вероятность возникновения резких колебаний, чем предсказывает нормальное распределение. Это приводит к недооценке рисков, связанных с опционами, которые приносят наибольшую прибыль именно в периоды рыночных потрясений или при неожиданных изменениях. Опционы «out-of-the-money», которые активируются только при значительном движении цены актива, особенно подвержены ошибкам оценки, поскольку модель не учитывает повышенную вероятность таких событий. Таким образом, применение стандартной модели Блэка-Шоулза в условиях ненормального распределения доходности может привести к значительным финансовым потерям для инвесторов.

Несмотря на теоретическую обоснованность, основанную на принципах отсутствия арбитража, практическое применение модели Блэка — Шолса сталкивается с существенными трудностями. В реальных рыночных условиях транзакционные издержки, такие как комиссии брокерам и спреды между ценами покупки и продажи, неизбежно возникают и нарушают идеальную возможность совершения безрисковых сделок, лежащую в основе модели. Кроме того, рыночные несовершенства, включая ликвидность, ограничения на короткие продажи и асимметрию информации, препятствуют эффективному использованию арбитражных стратегий. Таким образом, хотя концепция отсутствия арбитража является краеугольным камнем модели, её реализация в условиях реального рынка зачастую оказывается невозможной, что приводит к отклонениям в ценообразовании опционов и снижает точность прогнозов.

Зависимость плотности вероятности от γ показывает, что при [latex] \gamma = 0 [/latex] она соответствует нормальному распределению, используемому в модели Блэка-Шоулза, а график цены опциона колл в зависимости от γ построен при [latex] u=10\%, r=10\%, S_0=20, K=20, T=1 год [/latex] и [latex] \sigma = 25\% [/latex]. — Зависимость плотности вероятности от γ показывает, что при $\gamma = 0$ она соответствует нормальному распределению, используемому в модели Блэка-Шоулза, а график цены опциона колл в зависимости от γ построен при $u=10\%, r=10\%, S_0=20, K=20, T=1 год$ и $\sigma = 25\%$ .

Квантовая Механика на Службе Финансов

Предлагаемый подход к моделированию стохастической динамики финансовых рынков основан на применении принципов квантовой механики. В отличие от традиционных методов, использующих вероятностные модели, данный подход представляет состояние рынка посредством волновой функции $\Psi(x,t)$ . Это позволяет описывать эволюцию рыночных сил не как случайный процесс, а как детерминированное изменение во времени волновой функции, определяемой, например, уравнением Шрёдингера. Переход от вероятностного описания к волновому позволяет учесть нелокальные корреляции и когерентные эффекты, которые не учитываются в классических моделях, потенциально улучшая точность прогнозирования и управление рисками.

Применение концепции потенциальной энергии к финансовым рынкам позволяет провести аналогию между рыночными силами и квантовыми гармоническими осцилляторами. В данной модели, потенциальная энергия представляет собой совокупность факторов, влияющих на цену актива, а флуктуации цены рассматриваются как колебания вокруг состояния равновесия, подобно колебаниям в гармоническом осцилляторе. Такой подход позволяет описывать динамику цен не только через вероятностные распределения, но и через волновые функции, что дает возможность более детального анализа амплитуды и частоты колебаний, а также учитывать влияние различных рыночных сил на изменение цены актива. В частности, глубина потенциальной ямы соответствует стабильности цены, а её крутизна — степени волатильности. $V(x) = \frac{1}{2}kx^2$ — уравнение, аналогичное потенциальной энергии в классическом гармоническом осцилляторе, может быть адаптировано для описания влияния рыночных факторов на цену.

В рамках предлагаемой модели, эволюция волновой функции, описывающей состояние финансовых активов, управляется уравнением Шрёдингера. Это уравнение, являющееся основой квантовой механики, позволяет определить, как изменяется во времени амплитуда вероятности нахождения актива в определенном ценовом диапазоне. Несмотря на детерминированную природу самого уравнения, решение для волновой функции предоставляет вероятностное распределение возможных цен актива, отражая присущую финансовым рынкам неопределенность. Таким образом, уравнение Шрёдингера выступает инструментом для получения динамической модели ценообразования, где состояние актива описывается волновой функцией $\Psi(x,t)$ , а его эволюция во времени определяется решением данного уравнения.

Сравнение плотностей вероятности нормального распределения и распределения в квантовой яме показывает, что полуширина модифицированного распределения определяется шириной диапазона цен базового актива, а анализ цены опциона колл при [latex]u=10\%[/latex], [latex]r=10\%[/latex], [latex]S_0=20[/latex], [latex]K=20[/latex], [latex]T=1[/latex] год и [latex]\sigma=25\%[/latex] подтверждает, что цена опциона колл не может быть ниже [latex]S_0-Ke^{-rT}[/latex], что и является его минимальной ценой. — Сравнение плотностей вероятности нормального распределения и распределения в квантовой яме показывает, что полуширина модифицированного распределения определяется шириной диапазона цен базового актива, а анализ цены опциона колл при $u=10\%$ , $r=10\%$ , $S_0=20$ , $K=20$ , $T=1$ год и $\sigma=25\%$ подтверждает, что цена опциона колл не может быть ниже $S_0-Ke^{-rT}$ , что и является его минимальной ценой.

Расширение и Валидация Квантовой Финансовой Модели

Для повышения точности квантовой финансовой модели была продемонстрирована её гибкость за счет включения концепций квантовых ям и учета изменяющихся рыночных сил. Квантовые ямы позволяют моделировать ограничения на движение цены актива, что соответствует различным факторам, влияющим на рынок. Применение как постоянных, так и линейных рыночных сил позволяет более реалистично отражать динамику изменения волатильности и других ключевых параметров, что приводит к более точным результатам ценообразования и оценки рисков. Моделирование с переменными рыночными силами учитывает, что влияние различных факторов на финансовый рынок не является статичным и может изменяться во времени, что повышает адаптивность и практическую ценность модели.

Ряд общепринятых методов ценообразования опционов, включая Модель Эластичности Дисперсии, Метод Конечных Разностей, Двойное Фрактальное Дифференциальное Уравнение и Монте-Карло Симуляцию, могут рассматриваться как частные реализации или расширения предложенного квантового подхода. Данные методы, будучи адаптированы к квантовой структуре, демонстрируют соответствие и возможность получения аналогичных результатов, что указывает на общую математическую основу и взаимосвязь между классическими и квантовыми моделями финансовых инструментов. Квантовое представление позволяет рассматривать эти методы как предельные случаи или упрощения более общей квантовой формулировки, обеспечивая унифицированный взгляд на ценообразование опционов.

В рамках разработанной квантовой финансовой модели реализована поддержка не-гауссовских распределений доходности, что позволяет повысить её адекватность реальным рыночным данным. В частности, модель учитывает обобщенное распределение доходности, предложенное Мертоном, и модель блуждающего левиафана Мантеньи. Использование этих распределений позволяет преодолеть ограничения, связанные с предположением о нормальном распределении доходности, которое часто не соответствует наблюдаемым эмпирическим данным и может приводить к недооценке рисков, особенно в периоды высокой волатильности и экстремальных событий. $\mu, \sigma^2$ — среднее и дисперсия, характеризующие распределение.

Модификация модели Блэка-Шоулза постоянной силой [latex]F<0[/latex] приводит к изменению вероятностных распределений и, как следствие, к изменению цены опциона и ее дисперсии в зависимости от величины силы [latex]k[/latex], при параметрах [latex]r=10\%, S_0=20, K=20, T=1[/latex] год и [latex]\sigma=25\%[/latex]. — Модификация модели Блэка-Шоулза постоянной силой $F<0$ приводит к изменению вероятностных распределений и, как следствие, к изменению цены опциона и ее дисперсии в зависимости от величины силы $k$ , при параметрах $r=10\%, S_0=20, K=20, T=1$ год и $\sigma=25\%$ .

Влияние и Направления для Дальнейших Исследований

Предложенный подход, создавая более точную и адаптивную модель финансовых рынков, открывает возможности для существенного улучшения процессов ценообразования опционов. Это достигается за счет более адекватного отражения реальных рыночных условий и динамики. Повышение точности моделирования напрямую влияет на эффективность стратегий управления рисками, позволяя более надежно оценивать и контролировать потенциальные убытки. В конечном итоге, это способствует принятию более обоснованных инвестиционных решений, что особенно важно в условиях высокой волатильности и неопределенности. Таким образом, данный метод не только расширяет теоретические представления о финансовых рынках, но и предоставляет практические инструменты для повышения эффективности инвестиционной деятельности.

Внедрение квантово-вдохновленного подхода позволяет существенно улучшить моделирование финансовых рынков за счет учета сложных динамических явлений, таких как кластеризация волатильности и скачкообразные изменения цен. Традиционные модели часто не способны адекватно отразить эти особенности, что приводит к неточностям в оценке опционов и управлении рисками. Квантовая механика, в свою очередь, предоставляет инструменты для более реалистичного описания этих процессов, учитывая вероятностную природу рыночных изменений и возможность одновременного существования различных сценариев. В результате, финансовые модели, основанные на данном подходе, становятся более устойчивыми к экстремальным событиям и обеспечивают более надежные прогнозы, что критически важно для принятия обоснованных инвестиционных решений и эффективного управления портфелем.

Перспективные исследования направлены на разработку эффективных численных методов для решения уравнения Шрёдингера в контексте финансовых приложений. Особое внимание уделяется адаптации этих методов для точной оценки опционов и углубленного анализа рисков. Исследователи стремятся использовать потенциал квантовых вычислений, рассматривая их как инструмент для ускорения и повышения точности сложных финансовых моделей. Разработка алгоритмов, способных эффективно работать с $\psi(t)$ — волновой функцией, описывающей состояние финансового актива, — ключевая задача. Ожидается, что эти разработки позволят создать более надежные и реалистичные модели, учитывающие сложные динамики рынков и способные предсказывать экстремальные события с большей точностью, что, в свою очередь, откроет новые возможности для управления рисками и принятия инвестиционных решений.

Анализ вероятностных плотностей [latex]P(x)[/latex] показывает, что сила [latex]a - 2\lambda x[/latex] влияет на волатильность, изменяя цену опциона (сплошная линия) по сравнению с моделью Блэка-Шоулза (пунктирная линия) при параметрах [latex]r=10\%, S_0=20, K=20, T=1 year[/latex] и [latex]\sigma=25\%[/latex]. — Анализ вероятностных плотностей $P(x)$ показывает, что сила $a - 2\lambda x$ влияет на волатильность, изменяя цену опциона (сплошная линия) по сравнению с моделью Блэка-Шоулза (пунктирная линия) при параметрах $r=10\%, S_0=20, K=20, T=1 year$ и $\sigma=25\%$ .

Исследование, представленное в данной работе, демонстрирует стремление к расширению границ финансового моделирования, выходя за рамки классической модели Блэка-Шоулза. Применение принципов квантовой механики для анализа рыночных сил позволяет взглянуть на стохастическую динамику под новым углом, учитывая нелинейность и вероятностные распределения, которые традиционные модели часто упрощают. Как однажды заметила Мария Кюри: «Не надо бояться трудностей, надо бороться с ними». Эта фраза отражает дух исследования, которое не боится сложных задач и стремится к более глубокому пониманию модели ценообразования опционов, выявляя закономерности, скрытые в данных.

Что дальше?

Предложенный подход, использующий принципы квантовой механики для оценки опционов, не является панацеей, а скорее, приглашением к переосмыслению фундаментальных предположений, лежащих в основе финансовых моделей. Отказ от упрощающего допущения о нормальном распределении вероятностей, хотя и логичен с точки зрения более точного отражения рыночной динамики, порождает новые вопросы. Как эффективно учитывать сложные корреляции между активами в рамках квантовой модели? Какова вычислительная стоимость реализации подобных моделей в реальном времени, и оправдана ли она потенциальным повышением точности?

Настоящая работа, по сути, указывает на необходимость исследования нелинейных эффектов и стохастических процессов, которые игнорируются в рамках классической модели Блэка-Шоулза. Понимание этих закономерностей требует разработки новых математических инструментов и, возможно, применения методов машинного обучения для выявления скрытых связей в рыночных данных. Не исключено, что наиболее плодотворным направлением станет гибридный подход, объединяющий сильные стороны как квантовой механики, так и традиционных финансовых моделей.

В конечном счете, задача заключается не в том, чтобы создать «идеальную» модель ценообразования опционов — таковой, вероятно, не существует. Важнее — осознать границы применимости существующих моделей и постоянно искать способы их улучшения, руководствуясь не только математической строгостью, но и интуицией, основанной на наблюдении за сложной и непредсказуемой природой рынков.

Оригинал статьи: https://arxiv.org/pdf/2601.00293.pdf

Связаться с автором: https://www.linkedin.com/in/avetisyan/

Смотрите также:

2026-01-05 18:05