Неизвестность в решениях: динамическое программирование и оценка рисков

Автор: Денис Аветисян

Новое исследование объединяет методы динамического программирования для работы с неопределенностью в задачах принятия решений, показывая ограничения на применимость различных мер риска.

"Покупай на слухах, продавай на новостях". А потом сиди с акциями никому не известной биотех-компании. Здесь мы про скучный, но рабочий фундаментал.

Бесплатный Телеграм канал

В статье представлен унифицированный подход к моделированию эпистемической неопределенности в марковских процессах принятия решений и показано, что динамическое программирование совместимо лишь с ограниченным набором мер риска: существенным инфимумом, супремумом и математическим ожиданием.

Несмотря на широкое применение Марковских процессов принятия решений, учет эпистемической неопределенности в оценке переходов остается сложной задачей. В работе ‘Dynamic Programming for Epistemic Uncertainty in Markov Decision Processes’ предложена общая теория для моделирования неприятия к неоднозначности, рассматривающая вероятности переходов как случайные величины и оценивающая политику с помощью меры риска, примененной к случайной доходности. Полученные результаты показывают, что динамическое программирование совместимо лишь с ограниченным набором мер риска — существенным инфимумом, супремумом и математическим ожиданием — что подчеркивает компромисс между вычислительной сложностью и выразительностью модели. Какие альтернативные подходы могут быть разработаны для расширения возможностей динамического программирования при работе с более сложными мерами риска и формами неопределенности?

Последовательное Принятие Решений: Основы и Моделирование

Многие задачи, с которыми сталкиваются современные системы искусственного интеллекта, представляют собой последовательность принимаемых решений, направленных на достижение долгосрочного успеха. Представьте, например, робота, обучающегося перемещаться по сложной местности, или алгоритм, управляющий инвестиционным портфелем. В обоих случаях, каждое действие влияет на будущие возможности и, следовательно, на итоговую награду. Данный подход, известный как последовательное принятие решений, предполагает, что агент взаимодействует с окружающей средой, выбирая действия, которые максимизируют суммарное вознаграждение на протяжении всего процесса. Эффективное решение подобных задач требует не только учета непосредственных результатов каждого действия, но и прогнозирования их долгосрочных последствий, что делает разработку соответствующих алгоритмов особенно сложной и актуальной.

Математическая основа для моделирования последовательного принятия решений представлена процессом Маркова принятия решений (ПМПР). Этот формализм определяет систему через набор состояний, представляющих различные ситуации, в которых может оказаться агент. Для каждого состояния определены доступные действия, которые агент может предпринять. Результатом каждого действия является переход в новое состояние, определяемый вероятностью перехода. Ключевым элементом ПМПР является функция вознаграждения, которая назначает числовое значение каждому переходу, отражая его желательность. Таким образом, ПМПР позволяет формально описать проблему принятия решений как поиск оптимальной стратегии, максимизирующей суммарное ожидаемое вознаграждение, что позволяет применять математические методы для её решения и разработки интеллектуальных агентов, способных эффективно действовать в сложных средах. $S, A, P, R$ — типичное обозначение состояний, действий, вероятностей перехода и вознаграждений соответственно.

Управление Риском: От Ожидаемого Значения к Мере Риска

В ситуациях с неопределенными исходами, оценка эффективности политик требует не только максимизации математического ожидания (среднего значения), но и количественной оценки и управления риском. Простое использование математического ожидания предполагает, что все исходы равновероятны или игнорирует потенциальные негативные последствия маловероятных, но существенных событий. Вместо этого, необходимо учитывать распределение вероятностей всех возможных исходов и оценивать потенциальные потери или ущерб, связанные с принятием конкретной политики. Управление риском включает в себя выбор стратегий, которые минимизируют вероятность наступления неблагоприятных событий или смягчают их последствия, даже если это приводит к снижению ожидаемой прибыли по сравнению со стратегией, ориентированной исключительно на максимизацию среднего значения. $E[X]$ является лишь одним из параметров, и недостаточно полным для принятия решений в условиях риска.

Меры риска, такие как эссенциальный инфимум и эссенциальный супремум, предоставляют количественные инструменты для оценки наихудшего и наилучшего сценариев, связанных с различными стратегиями. Эссенциальный инфимум $\text{ess inf} \, X$ определяет наибольшую нижнюю границу вероятностного распределения случайной величины $X$ , представляя собой наиболее пессимистичную оценку ожидаемого результата. Аналогично, эссенциальный супремум $\text{ess sup} \, X$ определяет наименьшую верхнюю границу, отражая наиболее оптимистичный сценарий. Использование этих мер позволяет анализировать не только среднее значение, но и диапазон возможных исходов, что особенно важно при принятии решений в условиях неопределенности и при оценке рисков, связанных с различными политиками.

Традиционное ожидаемое значение, используемое для оценки политик в условиях неопределенности, предполагает полное знание распределения вероятностей. Однако, в ситуациях, когда такое знание ограничено или отсутствует, меры риска расширяют концепцию ожидания, позволяя учитывать различные предпочтения. В частности, они позволяют моделировать неприятие неопределенности (ambiguity aversion), когда лица, принимающие решения, предпочитают более консервативные стратегии, даже если это приводит к меньшему ожидаемому выигрышу. Это достигается путем учета не только среднего значения, но и худших сценариев, что позволяет формировать более устойчивые и надежные решения, соответствующие различным уровням неприятия риска и консерватизма.

Робастные Марковские Процессы: Учёт Неопределенности в Модели

Робастные Марковские Процессы Принятия Решений (MDP) явно учитывают неопределенность, рассматривая не единую модель среды, а множество возможных моделей. Вместо оптимизации по ожидаемым значениям, алгоритмы робастных MDP направлены на поиск стратегии, которая обеспечивает наилучший результат в наихудшем случае из рассматриваемого множества моделей. Это достигается путем определения $\min_{\pi} \max_{M \in \mathcal{M}} \mathbb{E}_{\pi, M} [R]$ , где $\mathcal{M}$ представляет собой множество возможных моделей среды, а $R$ — суммарное вознаграждение, полученное при использовании стратегии π. Такой подход гарантирует, что стратегия будет эффективна даже при реализации наиболее неблагоприятного сценария из рассматриваемого набора, обеспечивая повышенную надежность и устойчивость к неопределенности.

Неопределенность в вероятностях переходов в задачах управления марковскими процессами (MDP) в рамках подхода, избегающего неоднозначность, моделируется напрямую. Вместо оптимизации по ожидаемому значению, используется измерение риска для оценки политик при наличии неоднозначности. Это позволяет учитывать не только наихудший сценарий, но и степень неприятия риска агентом, определяя политику, которая минимизирует потенциальные убытки, взвешенные на основе выбранной меры риска. $\text{Risk}(\pi) = \sup_{M \in \mathcal{M}} \mathbb{E}_{\pi, M} [R]$ , где $\mathcal{M}$ — множество возможных моделей среды, а $R$ — вознаграждение, полученное при использовании политики π.

Динамическое программирование, использующее оператор Беллмана, остается основным методом решения задач с устойчивыми и неоднозначными марковскими процессами принятия решений (MDP). Однако, для учета оценки рисков, стандартный оператор Беллмана претерпевает модификации. Вместо максимизации ожидаемой награды, оптимизация теперь включает в себя минимизацию меры риска, связанной с распределением наград. В частности, при решении задач с неопределенностью в вероятностях переходов, $\mathbb{E}[R(s,a)]$ заменяется на функцию, вычисляющую, например, условную стоимость при риске (CVaR) или максимальный проигрыш (Worst-Case Value). Итеративное применение модифицированного оператора Беллмана позволяет вычислить оптимальную политику, учитывающую не только ожидаемую награду, но и степень неприятия риска.

Свойства Инвариантных Мер Риска: Основы Когерентного Принятия Решений

Измерение риска, инвариантное к закону распределения, представляет собой фундаментальный инструмент в теории принятия решений, поскольку фокусируется исключительно на вероятностном распределении возможных исходов, а не на конкретных значениях этих исходов. Такой подход значительно упрощает анализ сложных систем, позволяя исследователям и практикам концентрироваться на общей структуре риска, а не на мельчайших деталях. Более того, инвариантность к закону обеспечивает когерентность, гарантируя, что предпочтения, основанные на этих мерах, остаются логичными и последовательными при изменении масштаба или смещении возможных результатов. Это особенно важно в финансовых моделях и задачах оптимизации, где последовательность является ключевым требованием для надежного прогнозирования и эффективного управления рисками.

Свойства монотонности, трансляционной инвариантности, положительной однородности и W1-непрерывности, которыми обладает мера риска, обеспечивают её корректное поведение в различных экономических сценариях и позволяют проводить осмысленные сравнения между различными стратегиями управления рисками. Монотонность гарантирует, что увеличение потенциальных убытков всегда приводит к увеличению значения риска, что соответствует интуитивному пониманию. Трансляционная инвариантность означает, что добавление константы ко всем возможным результатам не меняет оценку риска, что делает меру независимой от абсолютного уровня благосостояния. Положительная однородность указывает на то, что пропорциональное увеличение всех результатов приводит к пропорциональному увеличению риска, обеспечивая согласованность масштабирования. Наконец, W1-непрерывность гарантирует, что небольшие изменения в распределении вероятностей приводят к небольшим изменениям в значении риска, что обеспечивает устойчивость и надёжность оценки.

Исследование устанавливает, что лишь существенный инфимум, существенный супремум и математическое ожидание совместимы с принципами динамического программирования при заданных условиях. Это означает, что при решении задач принятия решений в условиях неопределенности параметров, лишь эти меры риска позволяют получать аналитически разрешимые решения. Данный результат, по сути, очерчивает границы применимости динамического программирования в контексте робастного управления рисками, указывая на то, что использование иных мер риска может привести к неразрешимым задачам или требовать значительных вычислительных затрат. Полученные ограничения имеют существенное значение для разработки эффективных алгоритмов оптимизации в условиях параметрической неопределенности и позволяют более осознанно выбирать подходящие инструменты управления рисками.

Данная работа, исследуя возможности динамического программирования в контексте неопределенности в марковских процессах принятия решений, подчеркивает фундаментальную связь между вычислительной сложностью и выразительностью модели. Стремление к всеобъемлющему описанию неопределенности часто приводит к неразрешимым задачам. В этой связи, слова Давида Гильберта представляются особенно актуальными: «В математике нет трамплина; нужно карабкаться шаг за шагом». Представленный подход демонстрирует, что лишь ограниченный набор мер риска — существенный инфимум, супремум и ожидание — совместим с динамическим программированием, что указывает на неизбежный компромисс между точностью моделирования и ее практической применимостью. По сути, работа акцентирует внимание на необходимости осознанного упрощения для достижения эффективного решения.

Что дальше?

Представленная работа выявила закономерность: динамическое программирование, как инструмент решения задач о принятии решений в условиях неопределенности, терпит поражение перед чрезмерной выразительностью некоторых мер риска. Оказалось, что лишь ограниченный набор — существенный инфимум, супремум и математическое ожидание — согласуется с вычислительной эффективностью. Это не недостаток метода, а скорее признание границ применимости формализма. Стремление к полной репрезентации неопределенности неизбежно ведет к увеличению вычислительной сложности, что является насилием над вниманием исследователя.

Будущие исследования, вероятно, сосредоточатся на компромиссах между точностью модели и вычислительной трактабельностью. Вместо попыток охватить все возможные сценарии, акцент сместится на разработку приближенных методов, позволяющих эффективно работать с более сложными мерами риска. Или же, возможно, придется признать, что некоторые типы неопределенности просто не поддаются формализации в рамках классической парадигмы Марковских процессов принятия решений.

Очевидно, что плотность смысла — новый минимализм. Попытки создать всеобъемлющую модель, игнорируя фундаментальные ограничения вычислительных ресурсов, обречены на неудачу. Истинный прогресс заключается не в увеличении сложности, а в очищении метода, в достижении максимальной ясности при минимальных затратах.

Оригинал статьи: https://arxiv.org/pdf/2602.03381.pdf

Связаться с автором: https://www.linkedin.com/in/avetisyan/

Смотрите также:

2026-02-04 15:12