Поиск закономерностей: Байесовский подход к символьной регрессии

Автор: Денис Аветисян

Новый метод позволяет надежно выявлять математические зависимости в данных, учитывая неопределенность и избегая переобучения.

Наблюдается, что применение метода температурной отгонки к функции правдоподобия NML позволяет сформировать апостериорное распределение модели, визуализированное в виде гистограммы, где отдельные точки соответствуют данным обучения и демонстрируют влияние данного подхода на точность и стабильность модели.

Представлен фреймворк SMC-SR для байесовской символьной регрессии, использующий последовательное Монте-Карло для эффективного исследования пространства моделей и оценки неопределенности.

"Покупай на слухах, продавай на новостях". А потом сиди с акциями никому не известной биотех-компании. Здесь мы про скучный, но рабочий фундаментал.

Бесплатный Телеграм канал

Символическая регрессия, несмотря на свою мощь в выявлении управляющих уравнений из данных, часто оказывается чувствительной к шуму, что ограничивает ее применимость. В работе, озаглавленной ‘Bayesian Symbolic Regression via Posterior Sampling’, предложен новый подход, использующий фреймворк Sequential Monte Carlo (SMC) для байесовской символической регрессии, позволяющий аппроксимировать апостериорное распределение символических выражений. Данный метод не только повышает устойчивость к шуму и обеспечивает оценку неопределенности, но и превосходит традиционные генетические алгоритмы за счет эффективного исследования пространства решений и предотвращения переобучения. Сможет ли предложенный подход стать основой для более надежного и интерпретируемого анализа данных в научных исследованиях и инженерном проектировании?

Вызов Сложных Систем: Преодоление Неопределенности

Традиционное моделирование часто сталкивается с серьезными трудностями при работе с системами высокой размерности и нелинейностью, что приводит к неточным прогнозам. В таких системах даже незначительные изменения начальных условий могут вызывать экспоненциальный рост расхождений между моделью и реальностью — эффект, известный как «бабочка». Это связано с тем, что стандартные математические методы, предполагающие линейные зависимости и небольшие отклонения, оказываются неэффективными для описания сложных взаимодействий и обратных связей, характерных для реальных процессов. Попытки упростить систему для облегчения моделирования часто приводят к потере существенных деталей и искажению результатов, а увеличение вычислительной мощности, необходимой для точного моделирования, быстро становится непосильным для современных ресурсов. В результате, предсказания, полученные с помощью традиционных методов, могут существенно отличаться от наблюдаемой реальности, особенно в долгосрочной перспективе.

Одной из главных сложностей при моделировании сложных систем является адекватное представление неопределенности и эффективное включение априорных знаний. Традиционные подходы часто полагаются на точные, детерминированные параметры, игнорируя неизбежные погрешности в измерениях и неполноту данных. Это приводит к переоценке точности прогнозов и недооценке возможных рисков. Современные исследования направлены на разработку методов, позволяющих учитывать различные источники неопределенности — от случайных ошибок до структурной неполноты модели. Включение априорных знаний, основанных на экспертных оценках или предыдущих исследованиях, позволяет существенно улучшить качество модели, особенно в условиях ограниченного объема данных. Эффективное сочетание данных и априорных знаний требует разработки сложных алгоритмов, способных учитывать взаимное влияние различных факторов неопределенности и избегать переобучения модели.

Сложность моделей, обученных на наборе данных Feynman I-17-32, определяется как структурой модели, так и количеством ее параметров.

Байесовская Статистика: Инструмент для Оценки Вероятности

Байесовская статистика предоставляет формальный механизм для количественной оценки и обновления убеждений на основе новых данных, используя понятия априорного ($P(H)$) и апостериорного ($P(H|D)$) распределений. Априорное распределение отражает изначальные знания или предположения о параметре или гипотезе ($H$) до получения данных. После получения данных ($D$), теорема Байеса позволяет вычислить апостериорное распределение, которое представляет собой обновленное убеждение о параметре или гипотезе, учитывающее как априорные знания, так и наблюдаемые данные. Эта процедура обновления убеждений является итеративной и позволяет последовательно уточнять знания по мере поступления новой информации.

Байесовский подход к статистике естественным образом снижает риск переобучения модели благодаря встроенному механизму регуляризации. В отличие от частотных методов, которые стремятся к точечным оценкам параметров, байесовская статистика работает с распределениями вероятностей. Более сложные модели, содержащие большее количество параметров, требуют более широкого априорного распределения, что, в свою очередь, приводит к более размытому апостериорному распределению. Это означает, что модель с большей сложностью будет менее вероятно предсказывать экстремальные значения, даже если она идеально соответствует обучающим данным. Таким образом, байесовский подход автоматически наказывает чрезмерную сложность, способствуя обобщающей способности модели и уменьшая вероятность переобучения на обучающем наборе данных, что особенно важно при работе с ограниченными объемами данных или зашумленными измерениями. В результате модель лучше адаптируется к новым, ранее не встречавшимся данным.

Эффективное байесовское заключение часто требует использования методов аппроксимации апостериорного распределения, особенно в задачах высокой размерности. Прямое вычисление апостериорного распределения $p(\theta|D)$ часто невозможно из-за интеграла в знаменателе, известного как свидетельство (evidence). В таких случаях применяются различные методы, включая метод Монте-Карло Маркова (MCMC), вариационное заключение и методы приближения Гаусса. MCMC позволяет генерировать выборку из апостериорного распределения, в то время как вариационное заключение аппроксимирует апостериорное распределение более простым распределением, минимизируя расхождение между ними. Выбор подходящего метода аппроксимации зависит от сложности модели, размерности пространства параметров и доступных вычислительных ресурсов.

Сравнение различных методологий выбора моделей демонстрирует их влияние на точность прогнозирования (NRMSE-test) и успешность идентификации данных Фейнмана.

Символьная Регрессия: Автоматическое Обнаружение Математических Связей

Символьная регрессия представляет собой метод поиска математических выражений, наиболее точно описывающих наблюдаемые данные. В отличие от традиционных методов регрессии, которые предполагают заданную структуру модели, символьная регрессия автоматически конструирует математическую формулу, используя основные арифметические операции и функции. Это позволяет получить не только предсказательную модель, но и интерпретируемое уравнение, описывающее взаимосвязи в данных. Например, для данных, описывающих зависимость между временем и пройденным расстоянием, символьная регрессия может найти формулу вида $distance = velocity time$, где $velocity$ и $time$ — переменные, а «» — операция умножения. Главным преимуществом является возможность получения человекочитаемой модели, что облегчает понимание и анализ полученных результатов.

Генетическое программирование представляет собой эволюционный алгоритм, используемый для исследования огромного пространства возможных математических выражений. В основе метода лежит популяция программ, представленных в виде деревьев, где узлы — математические операторы, а листья — переменные или константы. Каждая программа оценивается на основе ее способности соответствовать предоставленным данным, и лучшие программы отбираются для размножения с применением генетических операторов, таких как кроссовер и мутация. Этот процесс повторяется итеративно, позволяя популяции эволюционировать в направлении более точных и эффективных выражений, представляющих собой решения поставленной задачи. Эффективность метода обусловлена способностью исследовать нелинейные зависимости и находить решения, которые могут быть не очевидны при использовании традиционных методов регрессии.

Стандартный генетический алгоритм, используемый в символической регрессии, может быть вычислительно затратным из-за необходимости оценки большого количества генерируемых математических выражений. Это связано с экспоненциальным ростом пространства поиска возможных формул по мере увеличения сложности задачи и количества базовых функций. Кроме того, существует тенденция к формированию чрезмерно сложных моделей, содержащих избыточные операции и параметры, что приводит к переобучению и снижению способности к обобщению на новых данных. Для борьбы с этим применяются различные методы регуляризации, такие как штрафы за сложность выражения или ограничение максимальной длины генерируемых формул, а также техники отбора наиболее перспективных решений на каждом поколении.

Алгоритм SMC-SR динамически настраивает параметр φ для различных наборов данных Фейнмана, поддерживая оптимальное разнообразие популяции, как показано на графиках для набора данных I-32-17.

Байесовская Символьная Регрессия: Вероятностный Подход к Поиску Моделей

Байесовская символическая регрессия использует принципы байесовского вывода для повышения надежности и обобщающей способности символической регрессии. В отличие от традиционных методов, которые часто находят лишь одно «наилучшее» выражение, байесовский подход позволяет оценить вероятность различных возможных моделей. Это достигается путем определения априорного распределения вероятностей для пространства выражений и последующего обновления этого распределения на основе наблюдаемых данных, используя теорему Байеса. В результате, вместо одной модели, получается распределение вероятностей по множеству моделей, отражающее степень их соответствия данным и априорным знаниям. Такой подход позволяет не только найти более точные модели, но и оценить неопределенность предсказаний, что особенно важно в задачах, где надежность прогноза имеет критическое значение. Оценка апостериорного распределения позволяет избежать переобучения и повысить устойчивость модели к шуму в данных, обеспечивая лучшую обобщающую способность на новых, ранее не виденных данных.

Метод последовательного Монте-Карло (SMC) оказался эффективным инструментом для приближенного вычисления апостериорного распределения вероятностей над множеством возможных математических выражений. В контексте символической регрессии, это означает, что вместо поиска единственного «лучшего» выражения, SMC позволяет оценить вероятность каждого кандидата, учитывая наблюдаемые данные. Алгоритм итеративно генерирует набор «частиц» — гипотез о структуре выражения — и обновляет их веса на основе соответствия данным. Частицы с более высокой вероятностью выживают и размножаются, в то время как менее вероятные отбрасываются, что позволяет алгоритму эффективно исследовать пространство возможных решений и находить наиболее вероятные модели, описывающие взаимосвязи в данных. Такой вероятностный подход обеспечивает не только точные прогнозы, но и позволяет оценить неопределенность, связанную с выбранной моделью, что особенно важно в задачах, где требуется надежная экстраполяция или анализ рисков.

Предложенная структура SMC-SR демонстрирует превосходство над традиционными методами генетического программирования в задачах символьной регрессии. Результаты, полученные на 12 наборах данных, основанных на уравнениях Фейнмана, последовательно указывают на более низкие значения NRMSE-test, что свидетельствует о повышенной точности и обобщающей способности. Данное улучшение особенно заметно при моделировании сложных физических явлений, где даже небольшое снижение ошибки может иметь существенное значение. Постоянно более низкие показатели NRMSE-test подтверждают, что SMC-SR обеспечивает более надежные и точные прогнозы по сравнению с существующими подходами к символьной регрессии, открывая новые возможности для автоматического открытия научных закономерностей и построения математических моделей.

Робастность и Применение к Реальным Данным: Перспективы Будущих Исследований

Байесовская символическая регрессия демонстрирует повышенную устойчивость к шуму по сравнению с традиционными методами, что имеет решающее значение для практических приложений. В условиях реальных данных, неизбежно содержащих погрешности измерений и случайные отклонения, способность алгоритма выделять истинные закономерности становится критически важной. В отличие от методов, чувствительных к шуму, байесовский подход позволяет оценивать вероятность различных моделей, учитывая неопределенность данных, и выбирать наиболее вероятную функцию, которая наилучшим образом соответствует наблюдаемым данным, несмотря на наличие шума. Это особенно важно в таких областях, как анализ физических экспериментов, моделирование биологических процессов и прогнозирование финансовых рынков, где шум может существенно влиять на точность и надежность результатов. Устойчивость к шуму позволяет байесовской символической регрессии создавать более надежные и обобщающие модели, способные эффективно работать в условиях реального мира.

Исследование способности разработанного метода к символьной регрессии было проведено на наборе данных Фейнмана, представляющих собой искусственно сгенерированные наблюдения, соответствующие известным физическим законам. Результаты показали, что предложенный подход успешно восстанавливает эти законы непосредственно из данных, демонстрируя его потенциал для автоматического открытия научных принципов. Способность системы находить математические выражения, описывающие наблюдаемые закономерности, подтверждает её эффективность в задачах анализа данных и моделирования сложных физических явлений. В частности, алгоритм смог вывести формулы, соответствующие таким фундаментальным законам, как закон Ома и закон всемирного тяготения, что свидетельствует о его надежности и точности в области научных открытий.

Исследования показали, что разработанный фреймворк SMC-SR демонстрирует значительно более низкую склонность к переобучению по сравнению с методами GPSR. Из двенадцати протестированных наборов данных переобучение наблюдалось лишь в пяти случаях, что указывает на повышенную устойчивость модели к шумам и выбросам в данных. Примечательно, что для достижения сопоставимых результатов SMC-SR потребовалось исследовать приблизительно вдвое меньше уникальных моделей, чем методам, основанным на гауссовских процессах. Это свидетельствует об эффективном алгоритме поиска, позволяющем быстро находить оптимальные решения и избегать излишней сложности, что особенно важно при работе с реальными, зашумленными данными и ограниченными вычислительными ресурсами.

Анализ результатов на наборах данных Feynman показывает, что лучшие модели в финальной популяции демонстрируют низкую среднеквадратичную ошибку обучения и тестирования, при этом минимальные значения ошибки тестирования приближаются к уровню шума, добавленного к обучающим данным.

Представленное исследование демонстрирует стремление к детерминированности в области символической регрессии. Авторы предлагают подход, основанный на последовательном Монте-Карло, что позволяет не только находить оптимальные модели, но и оценивать неопределенность, присущую процессу. Это особенно важно, учитывая, что традиционные методы, такие как генетическое программирование, склонны к переобучению и не всегда обеспечивают воспроизводимые результаты. Как отмечал Дональд Дэвис: «Любая программа, которую нельзя проверить, в конечном счете, ненадежна». Этот принцип напрямую применим к предложенному SMC-SR, поскольку методология обеспечивает возможность проверки и количественной оценки надежности полученных моделей, что значительно повышает доверие к результатам и способствует созданию более устойчивых систем.

Куда Далее?

Представленный подход, хотя и демонстрирует улучшение в отношении устойчивости и количественной оценки неопределенности, не решает фундаментальной проблемы символьной регрессии — поиска истинной, а не просто адекватной модели. Эффективное исследование пространства моделей, достигаемое посредством Sequential Monte Carlo, скорее смягчает симптомы, чем излечивает болезнь переобучения. Алгоритм, подобно искусному садовнику, обрезает ветви, но не гарантирует, что под ними скрывается плодоносящее дерево.

Дальнейшие исследования должны быть сосредоточены на разработке методов, позволяющих отличать истинные зависимости от случайных корреляций. Использование априорных знаний, выраженных не в виде эвристических ограничений, а в виде строгих математических условий, представляется перспективным направлением. Необходимо отойти от концепции «достаточно хорошей» модели и стремиться к доказательной корректности.

В конечном счете, задача символьной регрессии — это не просто поиск уравнения, описывающего данные, а построение математической модели, отражающей лежащие в их основе физические или биологические принципы. И пока алгоритмы будут довольствоваться аппроксимацией, а не доказательством, истинная элегантность останется недостижимой.

Оригинал статьи: https://arxiv.org/pdf/2512.10849.pdf

Связаться с автором: https://www.linkedin.com/in/avetisyan/

Смотрите также:

2025-12-13 21:18