Риски Крипты: Когда Стандартные Модели Подводят

Автор: Денис Аветисян

Новое исследование показывает, что привычные методы оценки рисков, основанные на логнормальном распределении, значительно недооценивают потенциальные потери на рынке криптовалют.

"Покупай на слухах, продавай на новостях". А потом сиди с акциями никому не известной биотех-компании. Здесь мы про скучный, но рабочий фундаментал.

Бесплатный Телеграм канал

Анализ демонстрирует неадекватность модели геометрического броуновского движения для точного прогнозирования волатильности и расчета Value-at-Risk криптовалют.

Несмотря на широкое распространение в финансовом моделировании, предположение о логнормальном распределении доходностей часто оказывается несостоятельным при анализе волатильных криптовалютных активов. В данной работе, ‘The Limits of Lognormal: Assessing Cryptocurrency Volatility and VaR using Geometric Brownian Motion’, исследуются ограничения традиционной модели геометрического броуновского движения (GBM) применительно к портфелю криптовалют (XRP, SOL, ADA), с использованием методов максимального правдоподобия и коррелированного Монте-Карло моделирования. Полученные результаты демонстрируют, что применение GBM приводит к существенной недооценке Value-at-Risk (VaR) при 5%-м уровне доверия и годовом горизонте, особенно в сравнении с аналогичным анализом акций (AAPL, TSLA, NVDA). Возможно ли, что для адекватного управления рисками в криптовалютной сфере потребуются принципиально новые модели, учитывающие особенности распределения доходностей и динамику волатильности?

Основы портфельного строительства: где теория встречается с практикой

Современная теория портфеля базируется на точном моделировании динамики цен активов с целью оптимизации соотношения риска и доходности. Эффективное управление инвестиционным портфелем требует не просто выбора отдельных активов, но и понимания того, как их цены изменяются во времени и как эти изменения взаимосвязаны. Точность этих моделей напрямую влияет на способность инвестора достичь желаемой доходности при заданном уровне риска, или, наоборот, минимизировать риск при заданной целевой доходности. Сложность заключается в том, что финансовые рынки подвержены множеству факторов, и прогнозирование будущих ценовых движений — задача нетривиальная. Использование передовых статистических методов и экономических моделей позволяет более адекватно оценивать риски и строить портфели, соответствующие индивидуальным целям и толерантности к риску инвестора. $\sigma_p^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} w_i w_j \sigma_{ij}$ — эта формула демонстрирует, как дисперсия портфеля зависит от ковариации между активами.

Традиционные методы управления портфелем часто основываются на предположении о нормальном распределении доходности активов. Однако, реальные финансовые данные нередко демонстрируют отклонения от этой модели, проявляющиеся в так называемых “толстых хвостах” и асимметрии. Это означает, что вероятность экстремальных событий — как значительных убытков, так и неожиданной прибыли — недооценивается при использовании стандартных статистических инструментов. В результате, портфели, оптимизированные на основе нормального распределения, могут оказаться более уязвимыми к рыночным потрясениям и нести в себе повышенный риск, особенно в периоды финансовой нестабильности. Игнорирование этих отклонений может привести к завышенной оценке ожидаемой доходности и недооценке потенциальных потерь, что делает необходимым использование более сложных моделей, учитывающих ненормальность распределения доходности.

Эффективное формирование инвестиционного портфеля требует глубокого понимания взаимосвязей между различными активами, такими как акции технологических гигантов — NVDA, TSLA и AAPL — и перспективные криптовалюты, включая ADA, SOL и XRP. Взаимодействие между этими классами активов не является случайным; коэффициенты корреляции между ними определяют, как изменения в цене одного актива влияют на другие, и, следовательно, на общий риск портфеля. Например, в периоды экономической неопределенности, акции технологических компаний и криптовалюты могут демонстрировать схожую волатильность, что подчеркивает важность диверсификации не только по классам активов, но и внутри каждого класса. Игнорирование этих взаимосвязей может привести к недооценке рисков и, как следствие, к значительным потерям, даже при использовании, казалось бы, диверсифицированной стратегии. Поэтому, анализ исторических данных о ценах и ковариациях между активами является критически важным шагом в процессе построения устойчивого и эффективного портфеля.

Минимально-дисперсионный портфель (MVP) представляет собой стратегию построения инвестиционного портфеля, основанную на принципах диверсификации и снижения общего риска. В отличие от методов, стремящихся к максимальной доходности, MVP фокусируется на минимизации волатильности, что достигается путем выбора активов с низкой исторической ковариацией. По сути, MVP стремится создать портфель, в котором активы двигаются как можно более независимо друг от друга, снижая тем самым влияние негативных событий на общий результат. Эффективность данной стратегии напрямую зависит от точности расчета ковариации между активами, такими как акции NVDA, TSLA, AAPL и криптовалюты ADA, SOL, XRP, на основе исторических данных. Несмотря на свою простоту, MVP демонстрирует устойчивость к различным рыночным условиям и часто превосходит по эффективности более сложные стратегии, особенно в периоды повышенной неопределенности.

Моделирование динамики активов: за пределами нормального распределения

Модель геометрического броуновского движения (ГБД) является базовой основой для описания динамики цен активов. Она предполагает, что изменение цены актива пропорционально его текущей цене и случайному шоку. Математически, это выражается в виде стохастического дифференциального уравнения. В результате, если цена актива следует ГБД, то распределение цены актива в определенный момент времени описывается логнормальным распределением. Это связано с тем, что логарифм цены актива следует нормальному распределению, что является прямым следствием свойств ГБД и центральной предельной теоремы. $S_t = S_0 \exp(\mu t + \sigma W_t)$ , где $S_t$ — цена актива в момент времени t, $S_0$ — начальная цена, μ — ожидаемая доходность, σ — волатильность, а $W_t$ — винеровский процесс. Таким образом, логнормальное распределение является естественным следствием применения модели ГБД.

Широко используемая модель геометрического броуновского движения (ГБД) предполагает непрерывные изменения цены и нормальное распределение лог-доходностей. Однако, данное предположение может оказаться неточным при моделировании финансовых активов, склонных к «тяжелым хвостам» — редким, но значительным экстремальным событиям. В реальности, финансовые данные часто демонстрируют более высокую вероятность возникновения событий, выходящих за пределы, предсказываемые нормальным распределением, что проявляется в более толстых хвостах распределения лог-доходностей. Неспособность ГБД адекватно учитывать эти «тяжелые хвосты» может приводить к недооценке рисков, связанных с экстремальными рыночными колебаниями, и, как следствие, к неверной оценке стоимости опционов и других производных финансовых инструментов. Использование моделей, допускающих более широкие распределения лог-доходностей, таких как t-распределение Стьюдента или обобщенное гиперболическое распределение, может обеспечить более точную оценку рисков и более реалистичное моделирование динамики активов.

Для моделирования диапазона возможных результатов портфеля используется метод Монте-Карло, который требует генерации коррелированных случайных величин. В рамках этого метода, для каждого актива в портфеле, генерируется последовательность случайных значений, представляющих возможные изменения цены в течение заданного периода времени. Корреляция между этими случайными величинами отражает статистическую взаимосвязь между активами, что позволяет реалистично моделировать поведение всего портфеля. Для генерации коррелированных случайных величин часто применяются такие методы, как $Cholesky$ разложение, обеспечивающее эффективное моделирование ковариационной матрицы активов и, следовательно, корреляционной структуры портфеля.

Разложение Холецкого является ключевым компонентом метода Монте-Карло, используемого для моделирования коррелированной случайной величины в финансовых моделях. Суть метода заключается в представлении матрицы ковариаций Σ в виде произведения нижней треугольной матрицы $L$ и её транспонированной матрицы $LT$ , то есть $Σ = LLT$ . Это позволяет генерировать набор некоррелированных случайных величин, которые затем преобразуются в коррелированные случайные величины с заданной структурой ковариации. Эффективность разложения Холецкого обусловлена его вычислительной сложностью, составляющей порядка $O(n3)$ , где $n$ — размерность матрицы ковариаций, что делает его применимым для моделирования портфелей, состоящих из большого числа активов.

Количественная оценка и смягчение портфельного риска

Value-at-Risk (VaR) представляет собой статистическую меру, используемую для оценки максимальных потенциальных убытков портфеля инвестиций за определенный период времени при заданном уровне вероятности. VaR выражается в денежном эквиваленте и рассчитывается на основе исторической доходности активов или моделируемых сценариев. Например, VaR в размере 50 000 рублей при 95% уровне уверенности и горизонте планирования в один день означает, что существует 5% вероятность того, что убытки портфеля превысят 50 000 рублей в течение этого дня. Выбор уровня уверенности и временного горизонта является критическим для интерпретации и использования VaR в управлении рисками. $VaR = E(L) - z \sigma(L)$ , где $E(L)$ — ожидаемый убыток, $z$ — z-значение, соответствующее выбранному уровню уверенности, а $\sigma(L)$ — стандартное отклонение убытков.

Для оценки распределения значений портфеля и расчета Value-at-Risk (VaR) применяется метод Монте-Карло в сочетании с разложением Холецкого. Метод Монте-Карло позволяет генерировать множество случайных сценариев развития цен активов, основываясь на заданных статистических характеристиках и корреляциях. Разложение Холецкого используется для эффективного моделирования коррелированной случайной величины, представляющей изменение стоимости портфеля. Данный подход позволяет определить вероятностное распределение возможных значений портфеля в заданный период времени и, следовательно, рассчитать VaR — максимальный убыток, который может быть понесен портфелем с заданной вероятностью (уровнем доверия). В частности, для расчета VaR методом Монте-Карло генерируется большое количество возможных траекторий изменения стоимости портфеля, и VaR определяется как $p$ -процентиль убытков в этих сценариях.

Максимальное соотношение Шарпа (MSRP) представляет собой метод построения портфеля, нацеленный на достижение наилучшей доходности с учетом уровня риска. Эффективность данного подхода напрямую зависит от точности используемой модели ценообразования активов. В рамках данной модели рассчитывается ожидаемая доходность и волатильность каждого актива, что влияет на веса активов в портфеле и, следовательно, на итоговое соотношение Шарпа $\frac{E(R_p) - R_f}{\sigma_p}$ , где $E(R_p)$ — ожидаемая доходность портфеля, $R_f$ — безрисковая ставка, а $\sigma_p$ — стандартное отклонение доходности портфеля. Неточности в модели ценообразования, такие как недооценка или переоценка волатильности, могут привести к формированию портфеля с неоптимальным соотношением риска и доходности.

Наше исследование количественно подтверждает несостоятельность модели геометрического броуновского движения (GBM) и логнормального распределения при моделировании рисков криптовалютных портфелей. Анализ показал, что вероятность убытков для криптовалютного портфеля, оптимизированного на основе этих предположений, составляет 80.67%. Это указывает на существенные отклонения в динамике криптовалют от стандартных моделей, предполагающих нормальное распределение доходностей и постоянную волатильность, и подчеркивает необходимость использования более сложных и адекватных моделей для оценки рисков в этом классе активов. Полученные результаты свидетельствуют о том, что применение GBM и логнормального распределения может приводить к значительному занижению реальных рисков и неадекватной оптимизации портфеля.

Согласно проведенным расчетам, Value-at-Risk (VaR) для криптовалютного портфеля при уровне доверия 95% (соответствующем 5% вероятности убытков) составляет 67 049 условных единиц. Для сравнения, аналогичный показатель для эквивалентного по структуре портфеля акций составляет приблизительно 84 000 условных единиц. Данный результат указывает на более высокую подверженность криптовалютного портфеля убыткам при заданном уровне доверия, что требует более консервативного подхода к управлению рисками и, возможно, применения более высоких требований к капиталу или хеджированию.

Вызовы и соображения для реалистичного моделирования

Явление концентрации волатильности, когда периоды высокой турбулентности на рынках склонны следовать за другими периодами высокой турбулентности, представляет собой серьезное противоречие для традиционных финансовых моделей, таких как геометрическое броуновское движение. Эти модели исходят из предположения о постоянной волатильности, что означает, что колебания цен происходят случайным образом и не зависят от предыдущих колебаний. Однако эмпирические данные демонстрируют, что это не так: периоды спокойствия сменяются периодами активных изменений, а затем снова спокойствием. Игнорирование этого эффекта концентрации может привести к значительному недооцениванию рисков, поскольку модели, основанные на постоянной волатильности, не способны адекватно отразить возможность резких и продолжительных колебаний цен, характерных для реальных финансовых рынков. Понимание и учет концентрации волатильности является ключевым для разработки более точных и надежных моделей прогнозирования и управления рисками.

Во многих финансовых моделях широко используется предположение о нормальном распределении доходности активов, однако реальные рыночные данные часто демонстрируют существенные отклонения от этой модели. В частности, наблюдаются более «тяжелые хвосты» распределения — повышенная вероятность экстремальных событий, как положительных, так и отрицательных. Это означает, что вероятность наступления событий, которые модель считает крайне маловероятными, на практике оказывается значительно выше. Вследствие этого, использование моделей, основанных на нормальном распределении, приводит к недооценке рисков, особенно в периоды высокой волатильности или при анализе портфелей с высокой степенью риска. Недооценка вероятности наступления негативных событий может привести к серьезным финансовым потерям и неадекватной оценке инвестиционных стратегий.

Для адекватного моделирования финансовых рынков, учитывая такие явления, как кластеризация волатильности и отклонение от нормального распределения доходностей, требуется применение продвинутых математических инструментов и глубокое понимание рыночной динамики. Традиционные модели, основанные на упрощающих предположениях, зачастую не способны достоверно отражать реальные риски, особенно в периоды турбулентности. Современные подходы, такие как стохастические модели волатильности, модели с тяжелыми хвостами и методы, учитывающие асимметрию распределения, позволяют более точно описывать поведение финансовых активов и, как следствие, повышают надежность прогнозов и оптимизации инвестиционных портфелей. Понимание взаимосвязи между макроэкономическими факторами, поведением инвесторов и изменениями рыночных условий является ключевым для построения эффективных и устойчивых финансовых моделей.

Результаты исследования демонстрируют существенную разницу в вероятности убытков между криптовалютным и акционерным портфелями, оптимизированными с использованием традиционных моделей. В частности, вероятность убытков для криптовалютного портфеля достигает 80.67%, что значительно превышает показатель в 35.27%, наблюдаемый для аналогичного по составу акционерного портфеля. Данное расхождение указывает на то, что стандартные финансовые инструменты, эффективно работающие на традиционных рынках, недостаточно адекватны для оценки рисков, связанных с волатильными криптовалютами, и подчеркивает необходимость разработки новых подходов к моделированию и управлению рисками в этой сфере. Высокая вероятность убытков указывает на необходимость более осторожного подхода к инвестированию в криптовалюты и тщательного анализа потенциальных рисков.

Данное исследование, демонстрирующее несостоятельность модели геометрического броуновского движения для адекватного описания волатильности криптовалют, закономерно вызывает скепсис. Как и предвидела Ханна Арендт: «Всякая власть претендует на абсолютную истину, но всегда опирается на ложь». Здесь, ложью является упрощенное представление о распределении доходности, игнорирующее реальные риски. Модель, претендующая на точность оценки Value-at-Risk, на деле лишь создает иллюзию контроля, скрывая потенциальные убытки. История показывает, что каждая «революционная» технология завтра станет техдолгом, а элегантная теория неизбежно столкнется с суровой реальностью продукшена.

Что дальше?

Представленная работа, как и многие до неё, лишь подтверждает старую истину: любая элегантная модель — это всего лишь упрощение, обречённое на столкновение с реальностью. Очевидно, что предположение о логнормальном распределении доходности криптовалют — это удобная фикция. Багтрекер, зафиксировавший очередную недооценку рисков, скоро пополнится новыми строками. Value-at-Risk, рассчитанный на основе геометрического броуновского движения, останется лишь цифрой для успокоения руководства.

Вместо того, чтобы усердно подгонять данные под существующие модели, следует признать их неадекватность. Поиск более сложных распределений, безусловно, важен, но истинный прогресс лежит в понимании причин отклонений от нормальности. Нельзя ли объяснить наблюдаемые «хвосты» не случайными флуктуациями, а системными эффектами — манипуляциями, информационным шумом, психологией толпы? Мы не деплоим — мы отпускаем эти модели в дикий рынок, где они неизбежно столкнутся с жестокой правдой.

В конечном итоге, вопрос не в том, чтобы найти «идеальную» модель, а в том, чтобы смириться с её неизбежной неточностью. Риск — это не ошибка расчёта, а неотъемлемая часть игры. И каждая «революционная» технология завтра станет техдолгом. Потребуется не столько совершенствование математических инструментов, сколько выработка более реалистичного взгляда на природу финансовых рынков.

Оригинал статьи: https://arxiv.org/pdf/2601.14272.pdf

Связаться с автором: https://www.linkedin.com/in/avetisyan/

Смотрите также:

2026-01-22 07:21