Торговля на фоне сопротивления рынка: как максимизировать прибыль

Автор: Денис Аветисян

Новое исследование предлагает математическую модель для определения оптимальных торговых стратегий с учетом влияния на цену и рыночного сопротивления.

"Покупай на слухах, продавай на новостях". А потом сиди с акциями никому не известной биотех-компании. Здесь мы про скучный, но рабочий фундаментал.

Бесплатный Телеграм канал

При заданных параметрах - ν=0.5, λ=1, и функции управления [latex]u(t)=0.3\,\mathbf{1}\_{0\leq t\leq 1}[/latex] с потенциалом [latex]\mathcal{U}(x)=x^{2}[/latex] - наблюдается определенное влияние на рыночные показатели и скорость совершения сделок. — При заданных параметрах — ν=0.5, λ=1, и функции управления $u(t)=0.3\,\mathbf{1}\_{0\leq t\leq 1}$ с потенциалом $\mathcal{U}(x)=x^{2}$ — наблюдается определенное влияние на рыночные показатели и скорость совершения сделок.

В работе рассматриваются оптимальные стратегии торговли с учетом рыночного сопротивления, используя фредгольмовские уравнения и анализ степенного затухания ценового влияния.

Несмотря на широкое изучение моделей рыночного влияния, вопрос оптимальной торговли в условиях активного сопротивления рынка остается недостаточно исследованным. В статье «Торговля с рыночным сопротивлением и вогнутым влиянием на цену» предложена математическая модель, анализирующая взаимодействие стратегий торговли, рыночного влияния и оптимального исполнения, учитывающая сопротивление рынка, генерируемое осведомленным трейдером. Показано, что оптимальные стратегии удовлетворяют нелинейному стохастическому уравнению Фредгольма, а существование и единственность решения установлены при определенных свойствах функции сопротивления. Возможно ли разработать эффективные численные методы для решения данного уравнения и применить полученные результаты к реальным торговым стратегиям?

Моделирование Рыночной Реальности: Влияние Объема Сделки

Традиционные модели торговли зачастую упускают из виду критически важный фактор — влияние размера сделки на рыночную цену, что приводит к разработке неоптимальных стратегий. В упрощенных расчетах предполагается мгновенное исполнение ордера по текущей цене, однако в реальности крупная сделка неизбежно оказывает давление на рынок, вызывая неблагоприятное изменение цены. Этот эффект, известный как “рыночное сопротивление”, может существенно снизить прибыльность торговой стратегии, особенно при работе с большими объемами активов. Неучет влияния размера сделки приводит к завышенным прогнозам прибыли и недооценке рисков, лишая трейдеров возможности максимизировать свои доходы и эффективно управлять капиталом. Игнорирование данного фактора является существенным недостатком многих существующих моделей, препятствующим их применению в реальных рыночных условиях.

Точное моделирование сопротивления рынка, возникающего при совершении крупных сделок, является ключевым фактором для увеличения прибыли, однако представляет собой серьезную математическую задачу. Суть проблемы заключается в том, что любое значительное изменение спроса или предложения немедленно влияет на цену актива, и этот эффект необходимо учитывать при разработке торговых стратегий. Традиционные модели часто упрощают эту взаимосвязь, игнорируя нелинейность и динамику изменения цен под воздействием крупных ордеров. Решение требует применения сложных математических инструментов, таких как стохастические процессы и методы анализа временных рядов, для адекватного описания поведения рынка и прогнозирования влияния сделок на цену. Игнорирование сопротивления рынка приводит к завышенным оценкам потенциальной прибыли и, как следствие, к убыточным сделкам, поскольку реальное исполнение ордера может оказаться менее выгодным, чем предполагалось.

Для создания реалистичных моделей финансовых рынков необходимо учитывать влияние размера сделки на цену актива, что количественно оценивается с помощью так называемого ядра рыночного воздействия (Market Impact Kernel). Это ядро отражает, как изменение спроса или предложения, вызванное крупной сделкой, влияет на цену. Понимание этого воздействия критически важно, поскольку игнорирование этого фактора может привести к неоптимальным торговым стратегиям и упущенной прибыли. В частности, необходимо учитывать, что даже относительно небольшие сделки могут вызывать заметные колебания цены, особенно на неликвидных рынках. Эффективное моделирование требует точной оценки этого влияния, позволяющей трейдерам и аналитикам прогнозировать поведение рынка и принимать обоснованные решения.

Ядро рыночного влияния, описывающее, как размер сделки влияет на цену актива, демонстрирует закономерность, известную как степенное убывание. Это означает, что влияние крупной сделки на цену не исчезает мгновенно, а постепенно снижается, следуя степенной функции. Подобные закономерности широко распространены в финансовых рынках и требуют применения специальных аналитических инструментов для точного моделирования. В частности, стандартные методы статистического анализа, предполагающие нормальное распределение, оказываются неэффективными в случае степенного убывания. Вместо этого, необходимо использовать методы, учитывающие «тяжелые хвосты» распределения, например, методы оценки максимальной правдоподобности или методы, основанные на стабильных распределениях. Игнорирование этой особенности может привести к существенным ошибкам в оценке рисков и оптимизации торговых стратегий, поскольку недооценивается долгосрочное влияние крупных сделок на ценообразование. Математически, это можно представить как $f(x) \propto x^{-\alpha}$ , где α — показатель степени, определяющий скорость убывания влияния.

Зависимость рыночного воздействия от параметра γ при [latex]\nu = 0.5[/latex], [latex]\lambda = 1[/latex] и [latex]\mathcal{U}(x) = x^2[/latex] описывается степенной функцией [latex]MI = 1.172 \cdot \gamma^{0.6086}[/latex], демонстрируя закономерную связь между параметром и величиной воздействия. — Зависимость рыночного воздействия от параметра γ при $\nu = 0.5$ , $\lambda = 1$ и $\mathcal{U}(x) = x^2$ описывается степенной функцией $MI = 1.172 \cdot \gamma^{0.6086}$ , демонстрируя закономерную связь между параметром и величиной воздействия.

Функционал Прибыли: Оптимизация Торговой Стратегии

В основе нашего подхода лежит определение функционала прибыли $𝒥$ , который комплексно оценивает доходность торговой стратегии. Этот функционал учитывает не только полученную прибыль от сделок, но и связанные с ними издержки, обусловленные влиянием ордеров на рыночную цену — так называемый рыночный импакт. Функционал $𝒥$ является инструментом для количественной оценки эффективности стратегий, позволяя сравнивать различные подходы с учетом всех сопутствующих затрат и выявлять оптимальные решения для максимизации прибыли.

Функционал прибыли $𝒥$ , используемый для определения оптимальных торговых стратегий, представляет собой нелинейную функциональную задачу, обусловленную комплексным характером рыночного воздействия и транзакционных издержек. Нахождение его максимума требует применения методов вариационного исчисления и функционального анализа, включая анализ производных Фреше и использование операторов, действующих в пространствах $ℒ₂$ . Стандартные методы оптимизации, предназначенные для функций многих переменных, неприменимы непосредственно к функционалам, что обуславливает необходимость разработки специализированных алгоритмов и численных методов для решения данной задачи и выявления стратегий, максимизирующих прибыль с учетом всех сопутствующих затрат.

Для упрощения анализа и обеспечения математической строгости, исходная задача максимизации прибыли была переформулирована с использованием оператора $𝐑$ . Это позволило представить проблему в рамках функционального пространства $ℒ₂$ (пространство квадратично интегрируемых функций). Переход к пространству $ℒ₂$ обеспечивает возможность применения инструментов функционального анализа, таких как вариационное исчисление и методы оптимизации, для нахождения оптимальных стратегий торговли. Использование оператора $𝐑$ позволяет представить Gain Functional (𝒥) как функционал, действующий на элементы пространства $ℒ₂$ , что необходимо для дальнейшего математического исследования и разработки алгоритмов.

Обеспечение существования оптимального решения в задаче максимизации прибыли напрямую зависит от математических свойств функционала прибыли $𝒥$ . В частности, необходимо, чтобы данный функционал был Фреше-дифференцируем, что позволяет использовать методы вариационного исчисления для поиска экстремумов. Кроме того, свойство коэрцитивности функционала, определяемое как $𝒥(x) \rightarrow \in fty$ при $||x|| \rightarrow \in fty$ , гарантирует ограниченность множества допустимых решений и, следовательно, существование решения, минимизирующего (или максимизирующего) функционал. Отсутствие этих свойств может привести к неопределенности и невозможности нахождения оптимальной торговой стратегии.

Figure 5:Convergence of the numerical scheme (35)-(36) for three stochastic “buy” signals with different signal decaysκ\kappafrom (42): the left-hand plot displays the errorEN,M1E\_{N,M}^{1}of the FOC defined in (33) while the right-hand plot shows the numerical errorEN,MbfE\_{N,M}^{bf}of the backward scheme (31) defined in (32) as a function of the iteration step of the scheme. Note that the numerical errorEN,M2E\_{N,M}^{2}, defined in from (34), and due to Picard iterations when computing the resistance function is set to be lower than1e−161e-16at each iteration.

Численное Моделирование и Аппроксимация: Проверка на Практике

Сложность рассматриваемой задачи, обусловленная нелинейностью и многофакторностью, делает получение аналитических решений практически невозможным. В частности, точное решение уравнений, описывающих оптимальную торговую стратегию, требует учета множества переменных и ограничений, что приводит к вычислительной непрактичности. В связи с этим, для решения данной проблемы и получения приближенных, но практически полезных результатов, используются численные методы. Данные методы позволяют разбить задачу на более мелкие, дискретные шаги, которые могут быть решены с использованием итеративных алгоритмов и компьютерных вычислений, предоставляя количественную оценку оптимальных стратегий в условиях, которые невозможно описать аналитически.

Для решения исходной задачи, сформулированной в непрерывном времени, применяется дискретизация. Этот метод предполагает замену непрерывных временных интервалов на дискретные моменты времени $t_i = i \Delta t$ , где $\Delta t$ — размер временного шага. Непрерывные функции и уравнения, описывающие динамику рынка и стратегию торговли, аппроксимируются их дискретными аналогами, что позволяет использовать численные методы для нахождения решения. Дискретизация преобразует задачу оптимизации в конечномерную, что делает её вычислительно решаемой и пригодной для реализации на цифровых устройствах.

Для решения возникающей оптимизационной задачи применяется итеративная численная схема. Данный подход позволяет построить траектории, представляющие собой оптимальные торговые стратегии, путем последовательного приближения к решению. Итерационный процесс включает в себя вычисление значений целевой функции на каждом шаге и корректировку параметров стратегии до достижения сходимости — состояния, при котором дальнейшие итерации не приводят к существенному улучшению результата. В процессе вычислений используются методы численного анализа для решения возникающих уравнений и обеспечения стабильности и точности полученных траекторий.

Для валидации предложенного подхода и оценки его устойчивости к различным рыночным условиям применяются методы Монте-Карло. В ходе анализа оптимальных стратегий «туда-обратно» было выполнено 2000 симуляций, позволяющих оценить поведение алгоритма в широком диапазоне сценариев. Каждая симуляция представляет собой независимую реализацию случайного процесса, моделирующего изменения рыночной конъюнктуры. Статистическая обработка результатов, полученных в ходе этих симуляций, позволяет определить средние значения, дисперсию и другие параметры, характеризующие эффективность и надежность разработанной стратегии.

Оптимальные траектории для трех стохастических сигналов «покупки» с различными коэффициентами затухания $\kappa$ , рассчитанные на основе анализа 2000 оптимальных траекторий, демонстрируют средние значения (отмеченные точками) и 95% доверительные интервалы (затененные области).

Упрощение и Широкая Применимость: От Теории к Практике

Для более глубокого понимания и проверки основных принципов, был проанализирован упрощенный двухсторонний модельный пример. Этот подход позволил выделить и изучить ключевые взаимодействия, абстрагируясь от излишней сложности, присущей реальным финансовым рынкам. В рамках данной модели, исследователи смогли сфокусироваться на фундаментальных механизмах, определяющих оптимальное исполнение сделок, и проверить, как различные факторы влияют на конечный результат. Такое упрощение не только облегчает теоретический анализ, но и предоставляет ценные инсайты для разработки более сложных и реалистичных моделей, способных адаптироваться к динамике реальных торговых площадок. Использование модельного примера стало важным шагом в подтверждении корректности разработанного теоретического каркаса.

В основе оптимального исполнения сделок лежит ключевое уравнение, полученное из условия первого порядка. Данное условие выводится в процессе максимизации функционала прибыли $G$ , представляющего собой меру эффективности торговой стратегии. По сути, это математическое выражение определяет, каким образом необходимо распределить объем сделки во времени, чтобы максимизировать ожидаемую прибыль, учитывая влияние на цену актива. Полученное уравнение позволяет точно рассчитать оптимальную траекторию исполнения ордера, минимизируя транзакционные издержки и максимизируя итоговую прибыль. Таким образом, условие первого порядка служит центральным элементом в разработке автоматизированных торговых систем и алгоритмов, стремящихся к достижению максимальной эффективности на финансовых рынках.

В основе предлагаемого подхода лежит предположение о липшицевой непрерывности функции сопротивления $𝒰$ . Данное условие играет ключевую роль в обеспечении устойчивости и корректности математической модели. Липшицева непрерывность гарантирует, что небольшие изменения во входных данных функции $𝒰$ приводят лишь к небольшим изменениям в её выходных значениях, предотвращая неконтролируемый рост или осцилляции в процессе исполнения торговой стратегии. Такой подход позволяет избежать нефизичных решений и обеспечивает предсказуемость поведения системы, что критически важно для разработки надежных и эффективных алгоритмов торговли на финансовых рынках. В конечном итоге, требование липшицевой непрерывности обеспечивает математическую строгость и практическую применимость разработанного фреймворка.

Полученные результаты не ограничиваются упрощенными моделями, а открывают перспективы для разработки более устойчивых и адаптивных торговых стратегий на реальных финансовых рынках. Исследование демонстрирует, что принципы, выявленные в рамках анализа двухсторонней модели, применимы к более сложным сценариям, где рыночные условия динамично меняются. Это достигается за счет акцента на общих принципах оптимизации исполнения сделок, а не на конкретных деталях упрощенной модели. В частности, подход, основанный на $Lipschitz$ непрерывности функции сопротивления, обеспечивает стабильность и предсказуемость поведения стратегии даже в условиях высокой волатильности и нелинейных рыночных взаимодействий. Таким образом, представленный фреймворк может служить основой для создания алгоритмов, способных эффективно адаптироваться к различным рыночным условиям и максимизировать прибыль в долгосрочной перспективе.

Оптимальные траектории движения при отсутствии сопротивления ([latex]\mathcal{U}\\equiv 0[/latex]) демонстрируют влияние параметра выпуклости [latex]c\\in\\{1,2,3,4\}[/latex] из уравнения (40) на их форму. — Оптимальные траектории движения при отсутствии сопротивления ( $\mathcal{U}\\equiv 0$ ) демонстрируют влияние параметра выпуклости $c\\in\\{1,2,3,4\}$ из уравнения (40) на их форму.

Исследование, представленное в данной работе, углубляется в закономерности оптимальной торговли, учитывая сопротивление рынка и нелинейное влияние сделок на цену. Автор демонстрирует, как малые решения множества участников формируют глобальные рыночные эффекты, что подтверждает идею о том, что контроль над рынком — это иллюзия. В связи с этим, уместно вспомнить слова Блеза Паскаля: «Все великие дела требуют времени». Подобно тому, как постепенные, локальные взаимодействия создают масштабные изменения на рынке, так и значимые достижения требуют терпения и последовательности. Работа подчеркивает, что влияние, а не контроль, является определяющим фактором в успешной торговле, что согласуется с концепцией самоорганизации и возникновения порядка из локальных правил.

Что дальше?

Представленная работа, исследуя оптимальные стратегии торговли в условиях рыночного сопротивления, лишь аккуратно приоткрывает завесу над сложностью взаимодействия между объемом торгов, ценовым влиянием и эффективностью исполнения. Формализация этой проблемы через фредгольмовы уравнения и степенные зависимости — шаг в правильном направлении, но иллюзия полного контроля над рыночными процессами остается иллюзией. Попытки директивного управления торговыми потоками, вероятно, неизбежно приводят к непредсказуемым последствиям, нарушая естественные закономерности, возникающие из локальных правил взаимодействия участников.

Будущие исследования, вероятно, должны сосредоточиться на расширении модели для учета более реалистичных рыночных условий: динамически меняющегося рыночного сопротивления, нелинейных эффектов ценового влияния и, что особенно важно, влияния информации и когнитивных искажений участников. Более того, интересным направлением представляется исследование стохастических стратегий, признающих фундаментальную неопределенность рыночных процессов и стремящихся не к полному контролю, а к адаптации и извлечению выгоды из возникающих возможностей.

В конечном счете, задача состоит не в создании идеальной торговой стратегии, а в понимании того, как глобальные рыночные закономерности возникают из простых, локальных взаимодействий. И тогда, возможно, станет очевидно, что любое стремление к централизованному управлению — это лишь очередная попытка навязать порядок там, где порядок уже существует сам по себе.

Оригинал статьи: https://arxiv.org/pdf/2601.03215.pdf

Связаться с автором: https://www.linkedin.com/in/avetisyan/

Смотрите также:

2026-01-07 17:30