Трёхмерная оптимизация инвестиционного портфеля: новый взгляд на риск

Автор: Денис Аветисян

Исследование представляет унифицированный подход к построению портфеля, учитывающий ожидаемую доходность, волатильность и риск взаимосвязанности активов.

"Покупай на слухах, продавай на новостях". А потом сиди с акциями никому не известной биотех-компании. Здесь мы про скучный, но рабочий фундаментал.

Бесплатный Телеграм канал

Эффективные портфели, сформированные тремя ключевыми фондами - минимальной дисперсии, минимальной связанности и касательной, демонстрируют снижение риска связанности κ при движении к минимальной связанности и снижение дисперсии [latex]\sigma^2[/latex] при движении к минимальной дисперсии, при этом оптимальные портфели для различных значений λ отображаются в гибридной матрице риска [latex]M(\lambda) = \lambda\Sigma + (1-\lambda)C[/latex]. — Эффективные портфели, сформированные тремя ключевыми фондами — минимальной дисперсии, минимальной связанности и касательной, демонстрируют снижение риска связанности κ при движении к минимальной связанности и снижение дисперсии $\sigma^2$ при движении к минимальной дисперсии, при этом оптимальные портфели для различных значений λ отображаются в гибридной матрице риска $M(\lambda) = \lambda\Sigma + (1-\lambda)C$ .

В статье разработана трёхмерная эффективная поверхность, расширяющая традиционную границу эффективности, и введен показатель ‘бета взаимосвязанности’ для оценки вклада активов в системный риск.

Классическая теория Марковица, фокусируясь на дисперсии как мере риска, не учитывает растущую роль сетевых взаимосвязей и системных рисков в современных финансовых рынках. В статье ‘A Three—Dimensional Efficient Surface for Portfolio Optimization’ предложена унифицированная модель оптимизации портфеля, включающая не только ожидаемую доходность и дисперсию, но и риск связанности активов. Разработанная трехмерная эффективная поверхность позволяет оценить компромисс между этими факторами, а также ввести понятие «бета связанности» для измерения вклада актива в системный риск. Как интеграция сетевых рисков может изменить традиционные подходы к диверсификации и повысить устойчивость инвестиционных портфелей?

За пределами традиционного портфеля: понимание системного риска

Традиционная теория портфеля, ярким примером которой является модель Марковица, в основном сосредотачивается на дисперсии как мере риска, упуская из виду взаимосвязанность активов. Данный подход предполагает, что изменения стоимости отдельных активов происходят независимо друг от друга, что часто не соответствует действительности в современных финансовых рынках. В реальности, активы тесно связаны между собой через сложные сети взаимозависимостей, и шоки, возникающие в одном сегменте рынка, могут быстро распространяться на другие, усиливая волатильность и приводя к неожиданным убыткам. Таким образом, оценка риска, основанная исключительно на дисперсии, может значительно недооценивать истинную уязвимость портфеля, особенно в периоды кризисов и повышенной турбулентности. Более адекватные модели должны учитывать не только индивидуальную волатильность активов, но и степень их взаимосвязанности, чтобы обеспечить более точную оценку и эффективное управление рисками.

В условиях растущей взаимосвязанности финансовых рынков, локальные потрясения способны стремительно распространяться, оказывая влияние на активы, казалось бы, не имеющие прямой связи с источником шока. Этот феномен формирует риск взаимосвязанности портфеля — ключевую проблему для инвесторов, поскольку традиционные методы оценки, фокусирующиеся на волатильности отдельных активов, недооценивают системные риски. Распространение негативных импульсов через сложные сети финансовых связей может привести к значительному усилению потерь, особенно в периоды кризисов, когда корреляции между активами имеют тенденцию к росту. Таким образом, понимание и учет риска взаимосвязанности портфеля становится необходимым условием для эффективного управления инвестиционными рисками и обеспечения стабильности портфеля в современных условиях.

Игнорирование эффектов взаимосвязанности активов приводит к существенной недооценке истинной уязвимости инвестиционного портфеля, особенно в периоды кризисных явлений. Исследования показывают, что шоки, возникающие в одной части финансовой системы, быстро распространяются на другие, зачастую нелинейным образом. Традиционные методы оценки риска, фокусирующиеся исключительно на волатильности отдельных активов, не учитывают эти «спилловер-эффекты», что может привести к ошибочным выводам о степени защищенности портфеля. В моменты резкого ухудшения рыночной конъюнктуры, когда корреляции между активами усиливаются, недооценка взаимосвязанности может привести к неожиданно высоким потерям и серьезному снижению доходности инвестиций. Таким образом, инвесторам необходимо учитывать не только риски отдельных активов, но и потенциальные последствия распространения негативных шоков по всей финансовой системе.

На примере подмножества акций NYSE (100 акций, 31 декабря 2024 г.) показано распределение первых 15 показателей связности [latex]eta_i^{(C)}[/latex], иллюстрирующее тяжелый хвост данного показателя, при этом все формальные эмпирические тесты в разделе LABEL:sec:empirical используют полную выборку и скользящие оценки. — На примере подмножества акций NYSE (100 акций, 31 декабря 2024 г.) показано распределение первых 15 показателей связности $eta_i^{(C)}$ , иллюстрирующее тяжелый хвост данного показателя, при этом все формальные эмпирические тесты в разделе LABEL:sec:empirical используют полную выборку и скользящие оценки.

Измерение взаимозависимости: GFEVD и сети переливов

Метод обобщенной декомпозиции дисперсии прогноза (GFEVD), основанный на векторной авторегрессии (VAR), предоставляет надежный инструментарий для количественной оценки степени взаимозависимости между активами. В основе GFEVD лежит анализ того, какая доля отклонения прогноза одного актива объясняется шоками, происходящими в других активах. VAR-модель позволяет смоделировать динамику нескольких временных рядов одновременно, учитывая их взаимосвязи. Декомпозиция дисперсии прогноза, полученная на основе VAR-модели, определяет, какой вклад в прогноз дисперсии каждого актива вносят собственные шоки и шоки от других активов, позволяя оценить степень их взаимовлияния. Результаты GFEVD представлены в виде матрицы, где каждый элемент показывает процент объясненной дисперсии прогноза одного актива шоками от другого актива.

Метод обобщенного разложения дисперсии прогноза (GFEVD) позволяет построить матрицу переливов (Spillover Matrix), визуально отображающую сеть передачи рисков внутри портфеля. Каждый элемент матрицы представляет собой долю изменения дисперсии прогноза одного актива, объясняемую шоком в другом активе. Таким образом, матрица переливов количественно определяет степень взаимосвязанности между активами и позволяет выявить основные каналы передачи рисков. Более высокие значения в матрице указывают на более сильную зависимость между активами и потенциально более значительный эффект передачи рисков.

Матрица взаимовлияния, формируемая на основе анализа эффектов перелива (spillover effects), напрямую поддерживает оценку риска взаимосвязанности (Connectedness Risk) в финансовых системах. Она позволяет количественно оценить степень, в которой шоки в одном активе или секторе распространяются на другие, выявляя потенциальные каналы системного риска. В отличие от традиционных методов анализа, учитывающих только прямые зависимости, матрица взаимовлияния отражает как прямые, так и косвенные связи, предоставляя более полную картину системной подверженности и позволяя оценить совокупное воздействие шоков на всю систему. Это особенно важно для управления рисками в портфелях и для макропруденциального анализа финансовой стабильности.

Оптимизация устойчивости: минимально-связный портфель

Подход к формированию минимально-связного портфеля (Minimum Connectedness Portfolio) напрямую учитывает системный риск, интегрируя риск связанности в процесс оптимизации, что является расширением классической структуры Марковица. В отличие от традиционных моделей, ориентированных исключительно на минимизацию дисперсии, данный подход рассматривает взаимосвязанность активов как фактор, усиливающий распространение шоков по всему портфелю. Это достигается путем включения меры связанности в целевую функцию оптимизации, что позволяет построить портфель, менее подверженный каскадным эффектам и распространению негативных импульсов. Таким образом, подход обеспечивает более комплексную оценку риска, учитывая не только волатильность отдельных активов, но и их взаимовлияние.

Методология минимизации совокупной связанности портфеля направлена на снижение его уязвимости к каскадным шокам, возникающим из-за системных рисков. Анализ показывает, что существует количественно определяемый компромисс между дисперсией портфеля и его связанностью, выражаемый наклоном графика зависимости в виде $-1 - λ / λ$ . Данный наклон указывает на то, что уменьшение связанности требует увеличения дисперсии, и наоборот, что позволяет инвесторам осознанно выбирать оптимальный баланс между риском и стабильностью портфеля в условиях взаимосвязанных рынков.

Реализация подхода к оптимизации портфеля с учетом связности на практике часто требует решения задач условной оптимизации, обусловленных ограничениями на доли активов и другие параметры. Для эффективного решения таких задач, особенно при большом количестве ограничений, широко применяется метод активного множества (Active Set Method). Этот метод итеративно определяет активные ограничения — те, которые непосредственно влияют на оптимальное решение на текущей итерации — и решает задачу, как если бы рассматривались только эти ограничения. После каждой итерации активное множество пересматривается, и процесс повторяется до достижения оптимального решения, удовлетворяющего всем ограничениям. Эффективность метода активного множества зависит от выбора начального приближения и стратегии обновления активного множества.

Практические аспекты и повышение точности оценки

В практической реализации стратегий управления портфелем инвесторы часто сталкиваются с ограничением “только длинные позиции”, которое исключает возможность продажи активов в расчете на снижение их стоимости. Данное условие существенно усложняет процесс оптимизации портфеля, поскольку стандартные алгоритмы, предполагающие как покупку, так и продажу активов, становятся неприменимыми. Для решения этой задачи требуется адаптация существующих методов оптимизации или разработка новых, учитывающих исключительно возможность приобретения активов. Применение таких ограничений оказывает непосредственное влияние на формирование эффективной границы, ограничивая область возможных инвестиционных решений и требуя более тщательного анализа компромисса между риском и доходностью. Подобный подход позволяет создать реалистичные и выполнимые портфели, соответствующие требованиям и ограничениям реальных инвесторов.

Метод активного множества, в сочетании с удовлетворением условий Каруша-Куна-Таккера (ККТ), представляет собой строгий математический подход к решению задач оптимизации с ограничениями. Данный метод позволяет последовательно идентифицировать активные и неактивные ограничения, что существенно упрощает процесс поиска оптимального решения. Условия ККТ, являющиеся необходимыми условиями оптимальности в задачах с ограничениями равенства и неравенства, гарантируют, что найденное решение удовлетворяет всем ограничениям и является локальным оптимумом. Эффективность метода активного множества заключается в его способности адаптироваться к различным типам ограничений и обеспечивать надежный результат даже в сложных задачах оптимизации портфеля, где, например, существует запрет на короткие продажи.

Для повышения надежности оценки риска взаимосвязанности, критически важно использовать методы усушки (Shrinkage Estimators) для уточнения ковариационной матрицы. Анализ показывает, что в определенных ситуациях барицентрические веса могут становиться отрицательными, что свидетельствует о том, что эффективная граница может выходить за пределы выпуклой оболочки краевых фондов. Это явление указывает на необходимость более тщательного анализа портфельных стратегий и учета возможности построения эффективных портфелей, использующих не только традиционные краевые активы, но и учитывающих более сложные взаимосвязи между ними. Улучшение оценки ковариационной матрицы с помощью методов усушки позволяет получить более реалистичную картину рисков и оптимизировать портфель с учетом потенциальных нелинейностей и выходящих за рамки стандартных моделей сценариев.

За пределами диверсификации: трехмерный взгляд на риск

Интеграция риска связанности в процесс оптимизации портфеля выявляет трехмерную эффективную поверхность, существенно расширяющую традиционные подходы. Вместо фокусировки исключительно на доходности и волатильности, эта поверхность учитывает также и системную уязвимость активов — то есть, их вклад в общую подверженность портфеля шокам. Традиционная эффективная граница, представляющая компромисс между риском и доходностью, преобразуется в трехмерную поверхность, где третья ось отражает степень взаимосвязанности активов и их потенциальное влияние на стабильность всего портфеля. Такой подход позволяет инвесторам не только максимизировать доходность при заданном уровне риска, но и минимизировать вероятность возникновения каскадных эффектов и системных сбоев, особенно в периоды повышенной рыночной турбулентности. Это особенно важно в условиях глобализированных финансовых рынков, где взаимосвязанность активов постоянно растет.

Анализ Connectedness Beta актива предоставляет ценную информацию о его вкладе в общую связанность инвестиционного портфеля, открывая возможности для целенаправленного управления рисками. По сути, данный показатель количественно определяет, насколько сильно изменения в цене данного актива влияют на изменение связанности всего портфеля, позволяя инвесторам выявлять активы, которые усиливают или ослабляют системную уязвимость. Вместо традиционного взгляда на риск, основанного исключительно на волатильности и корреляции, Connectedness Beta предлагает более тонкое понимание того, как отдельные активы способствуют общей подверженности портфеля к шокам. Это позволяет создавать портфели, не только оптимизированные по доходности и дисперсии $\sigma^2$ , но и устойчивые к распространению рисков внутри системы, что особенно важно в периоды высокой рыночной неопределенности и взаимосвязанности.

Перспективные исследования в области управления рисками направлены на разработку динамических мер сопряженности, способных адаптироваться к изменяющимся рыночным условиям. Особое внимание уделяется расширению сферы применения этих показателей на более широкий спектр активов, включая альтернативные инвестиции и инструменты с высокой степенью сложности. Такой подход позволит инвесторам не только учитывать традиционные факторы риска, такие как волатильность, но и оценивать потенциальное влияние отдельных активов на системную уязвимость всего портфеля. Разработка и внедрение динамических мер сопряженности, способных учитывать взаимосвязи между активами в реальном времени, представляется ключевым шагом к созданию более устойчивых и эффективных инвестиционных стратегий, способных противостоять будущим финансовым потрясениям.

Представленное исследование стремится к упрощению сложного процесса построения портфеля, объединяя традиционные метрики риска и доходности с концепцией риска взаимосвязанности. Авторы предлагают трехмерную эффективную поверхность, расширяющую горизонты оптимизации. В этом стремлении к ясности и практичности можно увидеть отголоски философии Дэвида Юма: “Мудрость заключается не в увеличении знаний, а в уменьшении незнания.” Подобно тому, как Юм стремился к очищению разума от излишних спекуляций, данная работа стремится к созданию более прозрачной и понятной модели оценки риска, фокусируясь на существенных факторах, таких как ‘connectedness beta’, для измерения вклада активов в системный риск. Эта работа демонстрирует, что истинное понимание достигается не за счет усложнения, а за счет фокусировки на фундаментальных принципах.

Что дальше?

Представленная работа, несмотря на свою кажущуюся завершенность, лишь обнажает глубину нерешенных вопросов. Расширение традиционной границы эффективности до трехмерной поверхности — не столько решение, сколько признание неполноты прежней модели. Риск взаимосвязанности, хоть и формализован через “бета-связанности”, остается призрачным понятием, требующим эмпирической проверки в различных рыночных режимах. Простота концепции не должна вводить в заблуждение: истинная сложность заключается не в количестве параметров, а в их интерпретации.

Следующим шагом видится отказ от статических моделей. Финансовые системы — это не застывшие конструкции, а живые организмы, подверженные эволюции. Необходимо разработать динамические модели, учитывающие изменение взаимосвязей между активами во времени и пространстве. Иначе говоря, не просто измерить риск взаимосвязанности, но и предсказать его. Элегантность любой теории заключается в ее способности предсказывать, а не описывать.

Наконец, не стоит забывать о фундаментальной проблеме — определении “системного риска”. Что есть системный риск, если не коллективная ошибка? До тех пор, пока не будет найдена метрика, отражающая не только количественную, но и качественную составляющую этого риска, все усилия по его управлению останутся поверхностными. Истина, как всегда, кроется в простоте, но путь к ней усеян сложными вычислениями.

Оригинал статьи: https://arxiv.org/pdf/2601.06271.pdf

Связаться с автором: https://www.linkedin.com/in/avetisyan/

Смотрите также:

2026-01-13 07:53