Управление в условиях неопределенности: от фондового рынка до сложных систем

Автор: Денис Аветисян

В новой работе предложен эффективный метод решения задач оптимального управления стохастическими линейно-квадратичными системами с переключением режимов и неполной информацией.

"Покупай на слухах, продавай на новостях". А потом сиди с акциями никому не известной биотех-компании. Здесь мы про скучный, но рабочий фундаментал.

Бесплатный Телеграм канал

Оптимальное [latex]H_{\in fty}[/latex]-управление, представленное сигналом [latex]u^{<i>}(\cdot)[/latex], эффективно подавляет наихудшие возмущения, обозначенные как [latex]v^{</i>}(\cdot)[/latex], обеспечивая устойчивость и надежность системы. — Оптимальное $H_{\in fty}$ -управление, представленное сигналом $u^{<i>}(\cdot)$ , эффективно подавляет наихудшие возмущения, обозначенные как $v^{</i>}(\cdot)$ , обеспечивая устойчивость и надежность системы.

Исследование посвящено решению задач стохастического оптимального управления с использованием H∞-подхода при наличии марковских переключений режимов и частичной информации о состоянии системы.

Неполнота информации и неопределенность динамики систем часто ограничивают эффективность стратегий оптимального управления. В данной работе, посвященной проблеме стохастического линейно-квадратичного оптимального управления с переключением режимов Маркова и $H_\infty$ ограничением при частичной информации, предложен подход к решению, основанный на теории $H_\infty$ управления и методах стохастических игр. Получены замкнутые решения, гарантирующие заданный уровень производительности, и продемонстрирована их применимость к задаче инвестирования на фондовом рынке. Возможно ли дальнейшее расширение предложенного подхода для управления более сложными системами с нелинейными характеристиками и множественными источниками неопределенности?

Неопределенность в Управлении: Вызовы Стохастического Контроля

Многие задачи управления в реальном мире, например, управление финансовым портфелем, по своей природе стохастичны, то есть зависят от случайных факторов и непредсказуемых колебаний. Это связано с тем, что на результаты таких систем постоянно влияют внешние возмущения, такие как изменения на рынке, колебания процентных ставок или внезапные экономические шоки. В отличие от детерминированных систем, где будущее состояние полностью определяется текущим состоянием и управляющими воздействиями, в стохастических системах присутствует элемент случайности, что делает прогнозирование и точное управление значительно более сложными. Таким образом, для эффективного управления в подобных условиях необходимо учитывать вероятностную природу процессов и использовать методы, позволяющие адаптироваться к непредвиденным изменениям и минимизировать риски.

Традиционные методы управления, разработанные для предсказуемых систем, зачастую демонстрируют неэффективность в условиях стохастичности. Неспособность адекватно учитывать случайные возмущения и неопределенности приводит к снижению оптимальности решений и, в критических ситуациях, к полной потере стабильности системы. Например, алгоритмы, основанные на точных моделях, могут давать ошибочные команды при возникновении непредвиденных факторов, что особенно актуально в финансовых рынках или при управлении сложными технологическими процессами. В результате, системы, управляемые подобными алгоритмами, могут испытывать колебания, задержки в реагировании и, в конечном итоге, не достигать поставленных целей, требуя разработки новых подходов к управлению в условиях неопределенности.

Для эффективного управления сложными системами, подверженными непредсказуемым возмущениям и неполной информацией, требуется разработка устойчивых систем управления. Традиционные подходы, основанные на точных моделях, часто оказываются неэффективными в условиях неопределенности, приводя к нестабильности или субоптимальным результатам. Устойчивые системы управления, напротив, способны адаптироваться к изменяющимся условиям и неточностям в моделях, используя методы, такие как стохастическое программирование и байесовские сети. Они позволяют учитывать вероятностный характер входных данных и параметров системы, обеспечивая надежное и эффективное управление даже при наличии значительной неопределенности. Разработка и внедрение таких систем являются ключевым направлением современной теории управления, открывающим возможности для решения широкого круга практических задач — от управления финансовыми портфелями до автономной робототехники.

Преодоление указанных ограничений имеет первостепенное значение для обеспечения надёжного и эффективного управления в сложных системах. В условиях неполной информации и непредсказуемых возмущений, традиционные методы контроля часто оказываются неадекватными, приводя к неоптимальным результатам и нестабильности. Разработка устойчивых алгоритмов, способных адаптироваться к неопределенности, является ключевой задачей для широкого спектра приложений — от управления финансовыми портфелями и роботизированными системами до оптимизации логистических цепочек и функционирования энергетических сетей. Успешное решение данной задачи позволит существенно повысить эффективность и надёжность работы сложных систем, минимизируя риски и максимизируя производительность в динамически меняющихся условиях.

Оптимальное управление [latex]u^<i>(\cdot)[/latex] обеспечивает устойчивость системы даже при воздействии максимально неблагоприятного возмущения [latex]v^</i>(\cdot)[/latex] при уровне [latex]\gamma = 2[/latex]. — Оптимальное управление $u^<i>(\cdot)$ обеспечивает устойчивость системы даже при воздействии максимально неблагоприятного возмущения $v^</i>(\cdot)$ при уровне $\gamma = 2$ .

Робастное Решение: Вывод Замкнутой Седловой Точки

Задача формулируется как стохастическая линейно-квадратичная (SLQ) задача оптимального управления, характеризующаяся наличием неопределенности модели и неполной информацией о состоянии системы. Данная постановка предполагает использование линейной динамической модели, квадратичной функции стоимости и учет случайных возмущений, влияющих на динамику системы. Неопределенность модели учитывается как параметрическое отклонение от номинальной модели, а частичная информация предполагает, что не все переменные состояния непосредственно измеряются, что требует использования методов оценки состояния. В рамках SLQ-подхода, целью является нахождение оптимальной стратегии управления, минимизирующей ожидаемое значение квадратичной функции стоимости при заданных ограничениях и условиях неопределенности. $J = E[x^T Q x + u^T R u]$ , где $Q$ и $R$ — матрицы весов для переменных состояния и управления соответственно.

В рамках разработанного подхода, используя теорию $H_{\in fty}$ управления, получен замкнутый седловидный пункт, гарантирующий устойчивость и заданную производительность системы при наличии неопределенностей в модели и частичной информации. Полученное решение обеспечивает выполнение критерия $H_{\in fty}$ производительности, выраженного как $‖\mathcal{L}u^{<i>}‖ < \gamma$ , где $‖\mathcal{L}u^{</i>}‖$ представляет собой норму оператора передачи от возмущений к выходным сигналам, а γ — заранее заданный уровень допустимого ухудшения производительности. Данный критерий обеспечивает ограниченность влияния возмущений и неопределенностей на выходные характеристики системы, гарантируя ее надежную работу в условиях реальной эксплуатации.

Для оценки состояния системы при наличии неполной информации в процессе вывода используется фильтрация. В частности, применяется фильтр Калмана, позволяющий оптимально оценивать состояние системы на основе поступающих измерений и модели системы с учетом шумов и неопределенностей. Фильтр рекурсивно обновляет оценку состояния, комбинируя предсказание на основе модели с коррекцией на основе измерений, минимизируя среднеквадратичную ошибку оценки. $\hat{x}_{k|k} = \hat{x}_{k|k-1} + K_k (z_k - h(\hat{x}_{k|k-1}))$ , где $\hat{x}_{k|k}$ — оценка состояния на шаге k, $K_k$ — коэффициент Калмана, $z_k$ — измерение на шаге k, а $h(\cdot)$ — функция измерения.

Предложенный подход обеспечивает систематическую методику разработки устойчивых контроллеров для систем, функционирующих в условиях реальных сложностей, таких как неопределенность модели и частичная информация о состоянии. В рамках данной методики, проблема формулируется как стохастическая линейно-квадратичная задача оптимального управления, что позволяет применять инструменты $H_{\in fty}$ теории управления для гарантирования заданного уровня производительности, выражающегося в критерии $‖\mathcal{L}_{u^{*}}‖ < \gamma$ . Систематичность подхода заключается в четко определенной последовательности шагов, включающей построение фильтров оценки состояния на основе доступной информации и последующее проектирование контроллера, обеспечивающего устойчивость и требуемые характеристики в условиях неопределенности.

Седловая точка, определяемая как [latex]\hat{\Theta}^{\\<i>}(\cdot,\alpha(\cdot))[/latex] и [latex]\tilde{\Theta}^{\\</i>}(\cdot,\alpha(\cdot))[/latex], является ключевой для обеспечения устойчивости системы. — Седловая точка, определяемая как $\hat{\Theta}^{\\<i>}(\cdot,\alpha(\cdot))$ и $\tilde{\Theta}^{\\</i>}(\cdot,\alpha(\cdot))$ , является ключевой для обеспечения устойчивости системы.

Математические Основы: Инструменты для Робастного Управления

Вывод седловинного решения в задачах оптимального управления тесно связан с применением уравнений Риккати для определения оптимальной стратегии управления. Эти уравнения представляют собой нелинейные дифференциальные уравнения, которые позволяют характеризовать функцию стоимости и, следовательно, оптимальное управление. Решение уравнения Риккати дает возможность определить оптимальную матрицу усиления $K$ , которая минимизирует заданный функционал стоимости, учитывая динамику системы и ограничения. Уравнение Риккати является ключевым элементом в алгоритме, позволяющем получить решение в замкнутой форме и гарантировать его устойчивость и оптимальность при определенных условиях.

Для упрощения анализа и обеспечения сходимости решения в процессе вывода оптимальной стратегии управления активно используются методы ортогональной декомпозиции и выделения полного квадрата. Ортогональная декомпозиция позволяет разложить сложные уравнения на независимые компоненты, что существенно снижает вычислительную сложность и облегчает анализ устойчивости. Выделение полного квадрата, в свою очередь, является ключевым этапом в доказательстве сходимости и получении замкнутой формы решения, особенно при работе с нелинейными системами и квадратичными критериями оптимальности. Использование этих техник позволяет гарантировать, что полученное решение является глобально оптимальным и устойчивым к небольшим возмущениям, а также обеспечивает сходимость итерационных алгоритмов, используемых для его вычисления.

Полученный регулятор доказано удовлетворяет критерию $H_{\in fty}$ , что гарантирует заданный уровень подавления возмущений. Критерий $H_{\in fty}$ определяет максимальное усиление от возмущения к контролируемому выходу системы. В контексте разработанного регулятора, это означает, что амплитуда выхода системы в ответ на внешнее возмущение не превысит заранее определенного порога, обеспечивая тем самым устойчивость и предсказуемость поведения системы даже при наличии нежелательных воздействий. Удовлетворение критерию $H_{\in fty}$ математически доказывает, что система обладает требуемым уровнем робастности к возмущениям и шумам.

Предлагаемая стратегия управления подтверждается строгим математическим обоснованием, включающим вывод решения в седловой точке с использованием уравнений Риккати, а также применение ортогонального разложения и метода дополнения до полного квадрата для обеспечения сходимости. Данный подход позволяет доказать, что разработанный регулятор удовлетворяет критерию $H_{\in fty}$ , гарантируя заданный уровень подавления возмущений и, следовательно, обеспечивая устойчивость и эффективность системы управления в широком диапазоне рабочих условий. Математическая строгость обеспечивает надежность и предсказуемость поведения системы, что критически важно для практического применения.

При [latex]\gamma=2[/latex], седловая точка в замкнутом контуре ([latex]\hat{\Theta}^{\\<i>}(\\cdot,\\alpha(\\cdot)),\\tilde{\Theta}^{\\</i>}(\\cdot,\\alpha(\\cdot))[/latex]) обеспечивает стабильность системы. — При $\gamma=2$ , седловая точка в замкнутом контуре ( $\hat{\Theta}^{\\<i>}(\\cdot,\\alpha(\\cdot)),\\tilde{\Theta}^{\\</i>}(\\cdot,\\alpha(\\cdot))$ ) обеспечивает стабильность системы.

Применение в Финансах: Контроль Риска на Фондовом Рынке

Для демонстрации практического применения разработанной системы управления, была проведена ее апробация в моделировании инвестиционной задачи на фондовом рынке. Динамика рынка была представлена в виде двухсостоятельной марковской цепи, отражающей чередование бычьих и медвежьих тенденций. Такой подход позволил создать реалистичную модель, учитывающую вероятностный характер изменений рыночной конъюнктуры. В рамках этой модели, система управления оценивалась по ее способности эффективно распределять инвестиции между различными активами, стремясь к максимизации прибыли при одновременном снижении рисков, связанных с волатильностью рынка. Использование марковской цепи позволило не только упростить анализ, но и продемонстрировать адаптивность системы к изменяющимся условиям, характерным для финансовых рынков.

Для анализа эффективности разработанного регулятора, исследование проводилось в реалистичном финансовом окружении, учитывающем чередование бычьих и медвежьих рыночных режимов. Моделирование динамики рынка посредством двухсостоятельной марковской цепи позволило точно воспроизвести вероятностные переходы между периодами роста и падения, что крайне важно для оценки поведения контроллера в различных сценариях. Такой подход обеспечивает более точную картину рисков и потенциальной доходности, поскольку регулятор тестируется не в идеальных, а в условиях, максимально приближенных к реальным колебаниям фондового рынка. Использование марковской модели позволяет оценить способность регулятора адаптироваться к меняющимся условиям и поддерживать стабильность инвестиционного портфеля даже в периоды повышенной волатильности.

Разработанный регулятор демонстрирует высокую эффективность в снижении рисков и максимизации доходности инвестиций даже в условиях нестабильности фондового рынка. Исследования показывают, что система способна адаптироваться к меняющейся рыночной конъюнктуре, будь то бычий или медвежий тренд, обеспечивая стабильные результаты. Регулятор позволяет инвесторам более уверенно ориентироваться в сложных финансовых реалиях, минимизируя потенциальные убытки и оптимизируя процесс принятия решений. Эффективность достигается за счет динамической корректировки инвестиционной стратегии в соответствии с текущими рыночными условиями, что позволяет использовать возможности рынка, одновременно снижая подверженность неблагоприятным колебаниям.

Параметр затухания возмущений γ играет ключевую роль в оценке эффективности предложенного контроллера. Достижение значения $\gamma > \gamma*$ является необходимым условием для обеспечения $H\in fty$ -производительности, что демонстрирует количественно измеримую устойчивость контроллера к внешним возмущениям. Этот параметр позволяет не только гарантировать ограниченность влияния непредсказуемых изменений на рынке, но и точно настроить баланс между риском и потенциальной прибылью. В частности, увеличение значения γ соответствует более консервативной стратегии, снижающей риск, в то время как уменьшение позволяет добиться более высокой доходности, но с увеличением подверженности рыночным колебаниям. Таким образом, γ служит важным инструментом для инвесторов, позволяя адаптировать стратегию управления капиталом к индивидуальному уровню толерантности к риску.

Изменение параметра γ оказывает влияние на управляющее воздействие [latex]u^{\\<i>}[/latex] и наихудшее возмущение [latex]v^{\\</i>}[/latex] в системе [latex]H_{\\in fty}[/latex]-управления. — Изменение параметра γ оказывает влияние на управляющее воздействие $u^{\\<i>}$ и наихудшее возмущение $v^{\\</i>}$ в системе $H_{\\in fty}$ -управления.

Представленная работа демонстрирует изящное решение сложной задачи стохастического оптимального управления, где неопределенность модели и частичная информация требуют комплексного подхода. В частности, использование теории $H_\infty$ управления позволяет обеспечить робастность решения при переключениях между режимами, что критически важно для систем, подверженных внешним возмущениям. Как отмечал Нильс Бор: «Противоположности противоположны, но и тождественны». Эта фраза отражает суть предложенного метода: обеспечение устойчивости системы в условиях неопределенности требует учета как известных, так и неизвестных факторов, а также их взаимосвязи. Хорошая архитектура незаметна, пока не ломается, и только тогда видна настоящая цена решений.

Что дальше?

Представленная работа, безусловно, продвигает границы решаемых задач стохастического оптимального управления. Однако, элегантность решения не должна заслонять лежащие в основе упрощения. Любая система, даже самая тщательно смоделированная, неизбежно содержит невыявленные зависимости. Границы ответственности, если их не прослеживать, рано или поздно дадут о себе знать — в виде непредсказуемых отклонений от расчетных траекторий. Неизбежна необходимость учета нелинейностей, которые, как известно, всегда прячутся за кажущейся линейностью, подобно теням на солнце.

Перспективы дальнейших исследований, очевидно, лежат в области расширения класса решаемых задач до тех, что включают не только марковские переключения, но и более сложные, адаптивные режимы. Представляется важным исследовать устойчивость предложенных решений к неточностям в оценке параметров, а также к влиянию задержек в получении информации. По сути, необходимо разрабатывать системы, способные не только реагировать на изменения, но и предвидеть их, подобно опытному игроку, просчитывающему ходы противника.

И, конечно, нельзя забывать о практической применимости. Иллюстрация на примере фондового рынка — лишь первый шаг. Истинная ценность подобных исследований проявится в разработке систем управления для более сложных, реальных объектов — от роботизированных комплексов до энергетических сетей. Но следует помнить: даже самая совершенная система — лишь инструмент. И ответственность за её использование всегда лежит на тех, кто ею управляет.

Оригинал статьи: https://arxiv.org/pdf/2601.04652.pdf

Связаться с автором: https://www.linkedin.com/in/avetisyan/

Смотрите также:

2026-01-09 18:15